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Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Poligoni

Cominciamo dando alcune definizioni:
  • Si definisce spezzata un insieme di segmenti a due a due consecutivi

  • Una spezzata si dice chiusa se ogni suo segmento ne ha due consecutivi; diversamente si dice aperta

  • Una spezzata si dice intrecciata se oltre agli estremi dei segmenti consecutivi ha anche altri punti in comune; diversamente diremo che è non intrecciata

  • Si definisce poligonale una spezzata chiusa e non intrecciata

  • Si definisce poligono la parte di piano racchiusa da una poligonale

Teorema sugli angoli interni di un poligono

La somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti quanti sono i lati meno due
Consideriamo un poligono di n lati e calcoliamo la somma dei suoi angoli interni. Prendiamo un punto P interno al poligono ed uniamolo con ogni vertice del poligono; otteniamo n triangoli. Ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto ricaviamo che la somma degli angoli interni di tutti i triangoli interni al poligono è di n(angoli piatti); dal grafico osserviamo che questo valore equivale alla somma degli angoli interni al poligono più un angolo giro che i triangoli formano nel vertice P. Quindi abbiamo

somma angoli interni = n( angoli piatti ) - (angolo giro)

ma un angolo giro equivale ad un angolo piatto e quindi

somma angoli interni=n( angolo piatto )- 2( angolo piatto )=(n-2) ( angolo piatto ). C.V.D.

Teorema sugli angoli esterni di un poligono

La somma degli angoli esterni di un poligono è pari a un angolo giro cioè due angoli piatti
Consideriamo per semplicità un poligono di cinque lati ABCDE e prolunghiamo tutti i lati dalla stessa parte in modo da ottenere tutti gli angoli esterni ( in figura sono rappresentati in celeste ). Osserviamo che per ogni vertice la somma tra l'angolo interno e quello esterno è un angolo piatto e quindi per ottenere la somma degli angoli esterni possiamo sommare gli angoli piatti per i vari vertici e poi sottrarvi la somma degli angoli interni al poligono. Per il poligono in figura si ha:
somma angoli esterni= 5( angolo piatto )-somma angoli interni
ma la somma degli angoli interni è pari a (5-2)(angolo piatto) quindi otteniamo

somma angoli esterni= 5( angolo piatto )-3(angolo piatto)=2(angolo piatto)=un angolo giro.

Analogamente per un poligono di n lati si ha:

somma angoli esterni= n( angolo piatto )-(n-2)(angolo piatto)=2(angolo piatto)=un angolo giro. C.V.D.

Vediamo e studiamo adesso i poligoni singolarmente.

Si definisce poligono regolare quel poligono che ha tutti gli angoli ed i lati congruenti
Tra essi i più semplici sono: triangolo equilatero, quadrato, pentagono regolare, esagono regolare.

Quadrilateri

I quadrilateri sono poligoni con quattro lati
Alcuni quadrilateri, grazie alla loro forma, godono di alcune proprietà particolari.

Trapezio

Si definisce trapezio un particolare quadrilatero che ha due lati paralleli
  • un trapezio con i lati non paralleli congruenti si chiama trapezio isoscele
  • un trapezio con due angoli retti si chiama trapezio rettangolo
  • un trapezio non isoscele e non rettangolo si chiama trapezio scaleno




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