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Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Poligoni inscritti e circoscritti

Per lo studio di questi particolari poligoni, abbiamo bisogno di due teoremi che riguardano la circonferenza e le tangenti ad essa condotte per un punto esterno. Ne diamo solo l'enunciato omettendo la dimostrazione.

Teorema 1

Per un punto esterno ad una circonferenza si possono tracciare due e due sole tangenti alla circonferenza stessa.

Teorema 2

Se da un punto P esterno ad una circonferenza di centro O tracciamo le tangenti ad essa, detti A e B i punti di tangenza si ha:
\( \overline{PA} = \overline{PB} \);
\( \overline{PO} \) è asse della corda \( \overline{AB} \) e bisettrice dell'angolo formato dalle tangenti.

Diamo adesso le definizioni di "poligono inscritto" e "poligono circoscritto".

Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se i suoi lati sono tutti tangenti alla circonferenza inscritta.

Un poligono si dice inscritto ad una circonferenza se i suoi vertici sono tutti punti della circonferenza circoscritta.

Osserviamo che, mentre i triangoli sono sempre inscrivibili e circoscrivibili ad una circonferenza, ciò non vale per i poligoni con più di tre lati; basti pensare al rettangolo che avendo base ed altezza differenti non può essere circoscritto ad una circonferenza perché non esiste un suo punto interno equidistante da tutti i suoi lati e quindi al massimo due lati sarebbero tangenti alla circonferenza. Vediamo adesso quali sono le condizioni che ci garantiscono la circoscrivibilità e l'inscrivibilità dei quadrilateri ad una circonferenza.

Teorema sui quadrilateri inscrivibili

Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia inscrivibile ad una circonferenza è che gli angoli opposti siano supplementari
Cominciamo col dimostrare che un quadrilatero inscritto ha gli angoli opposti supplementari; consideriamo il quadrilatero ABCD inscritto nella circonferenza di raggio r e centro O. Uniamo i vertici B e D con il centro della circonferenza e consideriamo gli angoli ai vertici A e C; per essi si ha:
\( \widehat{BAD} = \frac{1}{2} \widehat{BOD} \) convesso perché angoli alla circonferenza ed al cerchio insistenti sullo stesso arco;
\( \widehat{BCD} = \frac{1}{2} \widehat{BOD} \) concavo perché angoli alla circonferenza ed al cerchio insistenti sullo stesso arco.
Valutiamo adesso la somma degli angoli in A ed in C ed otteniamo$$\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=\frac{1}{2} \widehat{BOD} + \frac{1}{2} \widehat{BOD}=\frac{1}{2} ( \widehat{BOD} + \widehat{BOD} )$$Cioè al somma degli angoli alla circonferenza è uguale alla metà della somma degli angoli al centro; ma quest'ultima è un angolo giro quindi la sua metà è un angolo piatto, cioè gli angoli opposti sono supplementari. C.V.D.

Consideriamo il quadrilatero ABCD per il quale risulti che gli angoli opposti sono supplementari; tracciamo la dirconferenza passante per tre vertici di questo quadrilatero. La circonferenza esiste ed è unica; supponiamo adesso per assurdo che il quarto vertice, ad esempio D, non appartenga alla circonferenza e sia interno alla stessa. Possiamo allora prolungare il lato \( overline{CD} \) dalla parte di D fino a toccare la circonferenza nel punto E; uniamo E con A ed otteniamo un quadrilatero inscritto ad una circonferenza. Per esso risulta \( \widehat{AEC} + \widehat{ABC}= \)angolo piatto perché angoli opposti di un quadrilatero inscritto ad una circonferenza; ma per ipotesi si ha \( \widehat{ADC} + \widehat{ABC}= \)angolo piatto e quindi risulta \( \widehat{AEC}= \widehat{ADC} \) che è un assurdo perché guardando il triangolo AED l'angolo \( \widehat{ADC} \) è esterno al triangolo e non può essere uguale ad un angolo interno ad esso non adiacente ma deve esserne maggiore. C.V.D.

Teorema sui quadrilateri circoscrivibili

Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia circoscrivibile ad una circonferenza è che le somme dei lati opposti siano uguali
Cominciamo col dimostrare che un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza ha le somme dei lati opposti congruenti; considero il quadrilatero ABCD circoscritto alla circonferenza di raggio r e centro O. Per un teorema sulle tangenti alla circonferenza, considerando uno per volta, i vertici del quadrilatero come punti esterni alla circonferenza da cui partono le tangenti ottengo:
\( \overline{AE} = \overline{AH} \) , \( \overline{EB} = \overline{BF} \) , \( \overline{CG} = \overline{FC} \) e \( \overline{GD} = \overline{HD} \).
Consideriamo adesso la somma dei lati opposti \( \overline{AB} + \overline{CD} \); essa è uguale a $$\overline{AE}+\overline{EB}+\overline{CG}+\overline{GD}$$applicando le uguaglianze viste prima si ha$$\overline{AH}+\overline{BF}+\overline{FC}+\overline{HD}$$che è proprio la somma dei lati \( \overline{BC} + \overline{AD} \). C.V.D.

Dimostriamo che un quadrilatero con le somme dei lati opposti congruenti è circoscrivibile; consideriamo il quadrilatero ABCD e tracciamo le bisettrici di due angoli consecutivi, ad esempio, \( \widehat{ABC} \) e \( \widehat{DAB} \). Esse si incontrano in un punto O che la definizione di bisettrice, come luogo geometrico dei punti equidistanti dai lati dell'angolo, ci garantisce essere il centro di una circonferenza tangente ai tre lati \( \overline{DA} \) , \( \overline{AB} \) e \( \overline{BC} \). Dobbiamo quindi dimostrare che anche il lato \( \overline{CD} \) è tangente alla circonferenza; supponiamo per assurdo che non lo sia e tracciamo dal punto C l'altra tangente, oltre a \( \overline{BC} \), alla circonferenza che incontrerà il lato \( \overline{DA} \) o il suo prolungamento nel punto E. Abbiamo ottenuto un quadrilatero ABCE circoscritto ad una circonferenza per cui si ha \( \overline{AB}+\overline{CE}=\overline{EA}+\overline{BC} \); scriviamo adesso \( \overline{AE} \) come differenza tra \( \overline{DA} \) ed \( \overline{ED} \) ed otteniamo$$ \overline{AB}+\overline{CE}=\overline{DA}-\overline{ED}+\overline{BC} $$ricordando che per ipotesi \( \overline{AD}+\overline{BC}=\overline{AB}+\overline{CD} \) otteniamo $$\overline{AB}+\overline{CE}=\overline{AB}+\overline{CD}-\overline{ED}$$sottraendo a destra e sinistra \( \overline{AB} \) otteniamo$$\overline{CE}=\overline{CD}-\overline{ED}$$Questo è un assurdo perché afferma che per il triangolo CED la differenza di due lati è uguale al terzo lato mentre invece deve essere forzatamente minore; siamo giunti ad un assurdo e quindi non è possibile che il lato \( \overline{CD} \) non sia tangente alla circonferenza. C.V.D.

Teorema sui poligoni regolari

Ogni poligono regolare è sia inscrivibile che circoscrivibile ad una circonferenza; le circonferenze inscritta e circoscritta hanno lo stesso centro.



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