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Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Aree dei poligoni


Come per le misure lineari, anche le misure superficiali si deve scegliere una grandezza come unità di misura; essa deve essere omogenea ad una superficie. In particolare per le superfici si conviene di assumere come unità di misura il quadrato che ha per lato l'unità di misura lineare. Fare il rapporto tra le varie figure geometriche ed il quadrato unitario non è sempre facile però possiamo avvalerci dei teoremi sulla equivalenza delle figure geometriche; calcoliamo quindi l'area di un rettangolo e da questa formula ricaviamo quella degli altri poligoni.

Area del rettangolo

area del rettangolo
Consideriamo un rettangolo ABCD ed il quadrato unitario Q. Costruiamo per prima cosa un rettangolo intermedio che abbia l'altezza congruente a quella del rettangolo e la base congruente a quella del quadrato; calcoliamo la quantità di quadrati unitari che servono per ricoprire il rettangolo. Questo numero dipende dal rapporto tra l'altezza del rettangolo ed il lato del quadrato quindi, visto che il quadrato ha per lato l'unità di misura lineare, questo rapporto rappresenta proprio la misura dell'altezza del rettangolo rispetto all'unità di misura lineare. Indichiamo allora con h la misura dell'altezza del rettangolo ed otteniamo che la superficie del rettangolo intermedio vale h volte la superficie del quadrato unitario.
Consideriamo adesso quanti di questi rettangoli intermedi dobbiamo affiancare per ricoprire completamente il rettangolo ABCD; questo numero è uguale al rapporto tra la base del rettangolo ABCD e la base del rettangolo intermedio. Quest'ultima però è uguale per costruzione alla base del quadrato unitario e quindi il rapporto considerato rappresenta la misura della base del rettangolo ABCD rispetto all'unità di misura lineare; detta b questa misura otteniamo che la superficie del rettangolo ABCD vale b volte la superficie del rettangolo intermedio. Unendo le due relazioni, detta R la superficie del rettangolo ABCD, A quella del rettangolo intermedio e Q quella del quadrato unitario, otteniamo:$$R=b\cdot A=b\cdot(h\cdot Q)=a\cdot b \cdot Q$$e poichè Q è l'unità di misura superficiale si ha che la misura della superficie del rettangolo vale $$\frac{R}{Q}=\frac{b\cdot h\cdot \not{Q}}{\not{Q}}=b\cdot h$$ Si definisce area di una figura geometrica, la misura della sua superficie rispetto alla superficie del quadrato unitario

Diciamo allora che l'area del rettangolo si calcola come il prodotto tra la misura della base e dell'altezza del rettangolo stesso$$Area=b\cdot h$$

Area dei parallelogrammi

parallelogramma
Abbiamo già dimostrato l'equivalenza tra tutti i parallelogrammi che hanno la stessa base e la stessa altezza quindi, essendo il rettangolo un particolare parallelogramma otteniamo che l'area di ogni parallelogramma si calcola come prodotto della base per l'altezza

Tra i parallelogrammi, vi sono alcune figure geometriche per le quali il calcolo dell'area assume formule più semplici.

Area del Quadrato

quadrato
I quadrato è un particolare parallelogramma che ha i quattro lati ed i quattro angoli uguali e quindi per esso si ha che la base e l'altezza sono uguali; detto l il lato del quadrato si ha \( b=h=l \) ed applicando la formula dell'area del quadrato si ha$$Area=b\cdot h=l\cdot l=l^2$$Quindi l'area del quadrato equivale al quadrato della misura di un suo lato \(Area=l^2 \).

Area del Rombo

rombo
Il rombo è un particolare parallelogramma che ha i quattro lati congruenti ma non i quattro angoli quindi i due lati non coincidono simultaneamente con base ed altezza dello stesso. Osserviamo per esso che equivale alla metà di un rettangolo che ha per base ed altezza le due diagonali del rombo stesso. Dette allora \( d_1 \textrm{ e } d_2 \) le due diagonali del rombo, l'area del rettangolo che le ha per lati vale$$A(rettangolo)=d_1 \cdot d_2$$mentre quella del rombo vale la metà, cioè $$A(rombo)=\frac{A(rettangolo)}{2}=\frac{d_1 \cdot d_2}{2}$$Quindi l'area del rombo equivale al semiprodotto delle sue diagonali.

Area del triangolo

triangolo
Abbiamo dimostrato che un parallelogramma è equivalente ad un triangolo che abbia la stessa base ed il doppio dell'altezza quindi la superficie di un triangolo equivale a quella di un parallelogramma con la stessa base ed altezza dimezzata. Dette allora b ed h la base e l'altezza del triangolo, la sua area sarà uguale all'area del parallelogramma equivalente cioè $$A(triangolo)=A(parallelogramma)=b\cdot \frac{h}{2}=\frac{b\cdot h}{2}$$Quindi l'area del triangolo equivale al semiprodotto della base per l'altezza.

Area del trapezio

trapezio
Ogni trapezio è equivalente ad un triangolo che abbia per altezza la stessa altezza e per base la somma delle basi del trapezio quindi dette b , B e h la base minore, la base maggiore e l'altezza del trapezio applicando la formula otteniamo:$$A(trapezio)=A(triangolo)=\frac{(b+B)\cdot h}{2}$$Quindi l'area del trapezio si calcola come semiprodotto della somma delle basi per l'altezza.

Area dei poligoni circoscritti ad una circonferenza

esagono circoscritto
Sappiamo che un poligono circoscritto ad una circonferenza (pentagono regolare, esagono regolare, ecc.) è equivalente ad un triangolo che ha per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza inscritta quindi, detti r il raggio della circonferenza e P il perimetro del poligono, si ha:$$A(poligono)=A(triangolo)=\frac{P\cdot r}{2}$$Quindi l'area si un poligono circoscritto alla circonferenza si calcola come semiprodotto del suo perimetro per il raggio della circonferenza inscritta.
Spesso si indica con la lettera p il semiperimetro e quindi il perimetro con 2p; sostituendo 2p a P nella formula ricavata in precedenza si ha $$A(poligono)=\frac{2p\cdot r}{2}=p\cdot r$$Quindi l'area dei poligoni inscritti ad una circonferenza si calcola come prodotto del semiperimetro del poligono per il raggio della circonferenza.



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