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Algebra

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Analisi

Definizione di Relazione Definizione di Funzione

Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Teoremi di Pitagora ed Euclide

Primo Teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione sull'ipotenusa del cateto.
Dimostriamo che il quadrato DEBA costruito sul cateto \( \overline{AB} \) del triangolo ABC equivale al rettangolo che ha per lati \( \overline{BC} \) e la proiezione ortogonale di \( \overline{AB} \) su \( \overline{BC} \); per fare questo ci avvaliamo di una figura intermedia che dimostreremo essere equivalente sia al quadrato che al triangolo. Prolunghiamo il lato \( \overline{ED} \) dalla parte di D e l'altezza \( \overline{AH} \) del triangolo, relativa all'ipotenusa, dalla parte di A; indichiamo con M il punto di incontro di questi prolungamenti e tracciamo la parallela ad \( \overline{MH} \) passante per il vertice B. Quest'ultima incontra \( \overline{EM} \) nel punto L; il parallelogramma LBAM (per costruzione i lati opposti sono paralleli ) è la figura intermedia che cercavamo. Essa è equivalente al quadrato ABED infatti sono entrambi parallelogrammi, hanno la base \( \overline{AB} \) in comune ed inoltre le altezze congruenti (il lato \( \overline{AD} \), altezza del quadrato, rappresenta la distanza tra le basi del parallelogramma e quindi è pure sua altezza ). Dobbiamo adesso dimostrare che questo parallelogramma equivale al rettangolo BFGH in figura; considerando come basi i lati \( \overline{AM} \) del quadrilatero e \( \overline{HG} \) del rettangolo notiamo subito che le due figure hanno la stessa altezza infatti \( \overline{BH} \) rappresenta sia l'altezza del rettangolo che la distanza tra le basi del parallelogramma. Osserviamo adesso i due triangoli LEB ed ABC; essi hanno:
\( \overline{AB}= \overline{EB} \) perché lati di uno stesso quadrato;
\( \widehat{LEB} = \widehat{CAB} \) perché entrambi retti;
\( \widehat{EBL} = \widehat{ABC} \) perché complementari dello stesso angolo \( \widehat{LBA} \).
Allora i triangoli sono congruenti per il secondo principio di congruenza dei triangoli ed in particolare hanno \( \overline{LB}= \overline{BC} \); ma queste rappresentano, la prima la base del parallelogramma e la seconda la base del rettangolo. Allora le due figure sono equivalenti perché entrambi parallelogrammi ed inoltre hanno la stessa base e stessa altezza. Per la proprietà transitiva dell'equivalenza anche il quadrato ABED equivale al rettangolo BFGH. C.V.D.

Allo stesso modo si procede per il cateto \( \overline{CD} \).

Teorema di Pitagora

In un triangolo rettangolo la somma de quadrati costruiti sui cateti equivale al quadrato costruito sull'ipotenusa.
Dimostriamo questo teorema utilizzando il primo teorema di Euclide; infatti grazie ad esso otteniamo che il quadrato ABDE ( verde in figura ) equivale al rettangolo BFKH ed allo stesso modo il quadrato LACM ( celeste in figura ) equivale al rettangolo HKGC. Per lo stesso teorema sappiamo che \( \overline{BF}= \overline{CG} = \overline{BC} \) e quindi il quadrilatero BFGC, somma dei due rettangoli è un quadrato di lato \( \overline{BC} \); allora abbiamo ottenuto che la somma dei quadrati che hanno per lati i cateti del triangolo equivale al quadrato che ha per lato l'ipotenusa del triangolo stesso. C.V.D.

Secondo Teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza equivale al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Dimostriamo che il quadrato AHKF equivale al rettangolo LMNO. Consideriamo il triangolo ABC e notiamo che per il primo teorema di Euclide abbiamo che DEBA equivale a BMNH dove \( \overline{BM} = \overline{BC} \). Consideriamo adesso il triangolo ABH anche esso retto perché \( \overline{AH} \) è l'altezza di ABC relativa a \( \overline{BC} \); per il teorema di Pitagora abbiamo che la somma dei quadrati BLOH e AHKF equivale al quadrato EDBA ma prima avevamo visto che il quadrato EDBA equivaleva al rettangolo BMNH quindi otteniamo$$BMNH=BLOH+AHKF$$ma \( BMNH=BLOH+LMNO \) e quindi $$BLOH+LMNO = BLOH+AHKF$$togliendo ad entrambi BLOH si ha \( LMNO = AHKF \). Il rettangolo LMNO ha per lati le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa infatti il lato \( \overline{NO} \) è congruente ad \( \overline{HC} \) perché differenze tra lati congruenti. C.V.D.

Teorema dello gnomone

In ogni parallelogramma, i complementi del parallelogramma posti intorno alla diagonale sono equivalenti.
Per Euclide, autore del teorema, i complementi del parallelogramma ( in verde in figura ) sono i parallelogrammi che si formano ai lati della diagonale di un parallelogramma quando su di essa scegliamo un punto e vi passiamo le parallele ai lati. Dobbiamo dimostrare, allora, che i parallelogrammi AEPH e PFCG sono equivalenti. Osserviamo che la diagonale \( \overline{BD} \) divide il parallelogramma ABCD in due triangoli congruenti come da teorema sui parallelogrammi e lo stesso succede per le figure EBFP e HPGD che sono parallelogrammi e per cui i tratti \( \overline{BP} \) e \( \overline{PD} \) di \( \overline{BD} \) sono diagonali. Otteniamo allora EBP=BFP e HPD=PGD; i complementi del parallelogramma sono allora equivalenti perché differenze tra figure congruenti (triangolo grande meno i due piccoli ). C.V.D.



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