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Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Parallelogrammi

Si definisce parallelogramma un quadrilatero che ha tutti i lati paralleli a due a due.

Essi godono di alcune importanti proprietà:
  • In ogni parallelogramma i lati opposti sono congruenti e viceversa
    Dimostriamo che i lati opposti sono congruenti; consideriamo il parallelogramma ABCD e tracciamo la diagonale \( \overline{BD} \). Poiché la figura è un parallelogramma i lati opposti sono paralleli quindi consideriamo i lati \( \overline{AD} \) e \( \overline{BC} \) come due parallele tagliate dalla trasversale \( \overline{BD} \). Esse formano due angoli alterni interni congruenti ( celesti in figura ) quindi abbiamo \( \widehat{DBC}=\widehat{BDA} \). Allo stesso modo consideriamo i lati \( \overline{AB} \) e \( \overline{CD} \) tagliati dalla trasversale \( \overline{BD} \) ed otteniamo che \( \widehat{DBA}=\widehat{CDB} \) (in rosso in figura ). Osserviamo adesso i due triangoli ABD e BCD; essi sono congruenti per il secondo principio di congruenza dei triangoli infatti hanno un lato in comune, \( \overline{BD} \), e i due angoli ad esso adiacenti uguali come appena dimostrato. Da questa uguaglianza ricaviamo che anche gli altri due lati dei triangoli sono uguali a due a due e quindi si ha: \( \overline{AD}=\overline{BC} \) e \( \overline{AB}=\overline{CD} \) C.V.D.


    Dimostriamo adesso che se un quadrilatero ha i lati opposti uguali esso è un parallelogramma. Consideriamo i triangoli ABD e BCD della figura precedente e notiamo che sono congruenti per il terzo principio di congruenza dei triangoli avendo un lato in comune e gli altri due uguali a due a due per ipotesi; in particolare otteniamo le seguenti uguaglianze tra gli angoli: \( \widehat{DBC}=\widehat{BDA} \) ( in azzurro ) e \( \widehat{DBA}=\widehat{CDB} \) (in rosso ). Ma \( \widehat{DBC} \) e \( \widehat{BDA} \) sono angoli alterni interni se consideriamo i lati \( \overline{AD} \) e \( \overline{BC} \) tagliati dalla trasversale \( \overline{BD} \); il criterio fondamentale del parallelismo tra rette ci assicura che i due lati sono paralleli. Allo stesso modo i due angoli \( \widehat{DBA} \) e \( \widehat{CDB} \) sono alterni interni se consideriamo i lati \( \overline{AB} \) e \( \overline{CD} \) tagliati dalla trasversale \( \overline{BD} \); ancora una volta il criterio sul parallelismo ci dice che i lati sono paralleli. Quindi la figura ha i lati opposti paralleli ed è un parallelogramma. C.V.D.


  • In ogni parallelogramma gli angoli opposti sono congruenti e viceversa
    Dimostriamo che un parallelogramma ha gli angoli opposti congruenti; consideriamo il parallelogramma ABCD e tracciamo la diagonale \( \overline{BD} \). Poiché la figura è un parallelogramma i lati opposti sono paralleli quindi consideriamo i lati \( \overline{AD} \) e \( \overline{BC} \) come due parallele tagliate dalla trasversale \( \overline{BD} \). Esse formano due angoli alterni interni congruenti ( celesti in figura ) quindi abbiamo \( \widehat{DBC}=\widehat{BDA} \). Allo stesso modo consideriamo i lati \( \overline{AB} \) e \( \overline{CD} \) tagliati dalla trasversale \( \overline{BD} \) ed otteniamo che \( \widehat{DBA}=\widehat{CDB} \) (in rosso in figura ). Osserviamo adesso i due triangoli ABD e BCD; essi sono congruenti per il secondo principio di congruenza dei triangoli infatti hanno un lato in comune, \( \overline{BD} \), e i due angoli ad esso adiacenti uguali come appena dimostrato. Da questa uguaglianza ricaviamo che \( \widehat{DAB}=\widehat{BCD} \) cio questi due angoli opposti sono congruenti; inoltre si ha \( \widehat{ABC}=\widehat{CDA} \) perché somme di angoli congruenti. Quindi un parallelogramma ha gli angoli opposti congruenti. C.V.D.


    Dimostriamo adesso che un quadrilatero con i lati opposti congruenti è un parallelogramma; consideriamo il quadrilatero in figura. Esso ha gli angoli opposti congruenti quindi saranno congruenti anche le somme \( \widehat{DAB}+\widehat{ABC} \) e \( \widehat{CDA}+\widehat{BCD} \) perché gli addendi sono a due a due congruenti. Ricordiamo che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è un angolo giro quindi ciascuna di queste due somme, essendo uguali, rappresenta un angolo piatto; in particolare si ha \( \widehat{DAB}+\widehat{ABC}= \)angolo piatto cioè i due angoli sono supplementari. Ma considerando i due lati \( \overline{AD} \) e \( \overline{BC} \) tagliati dalla trasversale \( \overline{AB} \) si ha che gli angoli \( \widehat{DAB} \) e \( \widehat{ABC} \) sono coniugati interni; essendo essi supplementari ci garantiscono, per il criterio fondamentale del parallelismo, che i lati \( \overline{AD} \) e \( \overline{BC} \) sono paralleli. Allo stesso modo si osserva che le somme \( \widehat{DAB}+\widehat{CDA} \) e \( \widehat{ABC}+\widehat{BCD} \) sono congruenti ed entrambe pari ad un angolo piatto. In particolare \( \widehat{DAB} \) e \( \widehat{CDA} \) sono supplementari ed essi rappresentano due angoli coniugati interni formati dai lati \( \overline{AB} \) e \( \overline{CD} \) tagliati dalla trasversale \( \overline{AD} \); quindi i due lati sono paralleli. Il quadrilatero ha i lati opposti paralleli ed è quindi un parallelogramma. C.V.D.
  • In un parallelogramma ogni diagonale divide lo stesso in due triangoli congruenti e viceversa
    Dimostriamo che ogni diagonale divide il parallelogramma in due triangoli congruenti; consideriamo il parallelogramma ABCD e tracciamo la diagonale \( \overline{BD} \). Poiché la figura è un parallelogramma i lati opposti sono paralleli quindi consideriamo i lati \( \overline{AD} \) e \( \overline{BC} \) come due parallele tagliate dalla trasversale \( \overline{BD} \). Esse formano due angoli alterni interni congruenti ( celesti in figura ) quindi abbiamo \( \widehat{DBC}=\widehat{BDA} \). Allo stesso modo consideriamo i lati \( \overline{AB} \) e \( \overline{CD} \) tagliati dalla trasversale \( \overline{BD} \) ed otteniamo che \( \widehat{DBA}=\widehat{CDB} \) (in rosso in figura ). Osserviamo adesso i due triangoli ABD e BCD; essi sono congruenti per il secondo principio di congruenza dei triangoli infatti hanno un lato in comune, \( \overline{BD} \), e i due angoli ad esso adiacenti uguali come appena dimostrato. Allo stesso modo tracciando la diagonale \( \overline{AC} \) si dimostra che i triangoli ACD e ABC sono congruenti.


    Dimostriamo adesso che un quadrilatero per il quale ogni diagonale lo taglia in triangoli congruenti è un parallelogramma. Consideriamo i triangoli ABD e BCD; essi sono congruenti per ipotesi e quindi di sicuro si ha \( \overline{AB} = \overline{CD} \) e \( \overline{AD} = \overline{BC} \). Ma un quadrilatero che ha i lati opposti congruenti a due a due è un parallelogramma. C.V.D.


  • In ogni parallelogramma le diagonali si tagliano a metà vicendevolmente e viceversa
    Dimostriamo che in ogni parallelogramma le diagonali si tagliano vicendevolmente; consideriamo il parallelogramma ABCD, tracciamo le due diagonali e chiamiamo O il loro punto di incontro. Osserviamo i due triangoli AOD e BCO, essi sono congruenti per il secondo principio di congruenza dei triangoli infatti hanno:
    \( \overline{AD} = \overline{BC} \) per ipotesi;
    \( \widehat{ODA}=\widehat{OBC} \) perché alterni interni tra i lati paralleli (per ipotesi) \( \overline{AD} \) e \( \overline{BC} \) tagliati dalla trasversale \( \overline{BD} \);
    \( \widehat{DAO}=\widehat{BCO} \) perché alterni interni tra i lati paralleli (per ipotesi) \( \overline{AD} \) e \( \overline{BC} \) tagliati dalla trasversale \( \overline{AC} \).
    Allora per i due triangoli si ha \( \overline{AO}=\overline{OC} \) e \( \overline{BO}=\overline{OD} \) che equivale a dire che O è punto medio delle diagonali e cioè le diagonali si tagliano vicendevolmente a metà. C.V.D.


    Dimostriamo adesso che un quadrilatero le cui diagonali si tagliano vicendevolmente è un parallelogramma; consideriamo il quadrilatero ABCD e tracciamo le due diagonali. Osserviamo i triangoli AOD e OBC; essi sono congruenti per il primo principio di congruenza dei triangoli infatti hanno:
    \( \overline{AO} = \overline{OC} \) per ipotesi;
    \( \overline{DO} = \overline{OB} \) per ipotesi;
    \( \widehat{AOD}=\widehat{COB} \) perché opposti al vertice.
    Per questi due triangoli risulta, in particolare, \( \widehat{DAO}=\widehat{BCO} \); ma questi sono due angoli alterni interni se consideriamo i due lati \( \overline{AD} \) e \( \overline{BC} \) tagliati dalla trasversale \( \overline{AC} \), quindi i due lati sono paralleli. Allo stesso modo considerando i triangoli ABO e DOC si dimostra che i lati \( \overline{AB} \) e \( \overline{CD} \) sono paralleli. Quindi il quadrilatero ABCD ha i lati opposti paralleli ed è quindi un parallelogramma. C.V.D.

Tra i parallelogrammi spiccano per semplicità:
  • rettangolo; un parallelogramma con i quattro angoli uguali e siccome la somma degli angoli interni è un angolo giro ricaviamo che ogni angolo del rettangolo è un angolo retto

  • rombo; un parallelogramma con i quattro lati uguali e per esso vale il seguente teorema

    le diagonali di un rombo sono ortogonali e viceversa

    Dimostriamo che le diagonali del rombo sono ortogonali tra loro;consideriamo il rombo ABCD, tracciamo le due diagonali e chiamiamo O il loro punto di intersezione. Osserviamo i due triangoli ABO ed AOD; essi sono congruenti per il terzo principio di congruenza infatti hanno:
    \( \overline{AO} \) in comune;
    \( \overline{AB} = \overline{AD} \) per ipotesi;
    \( \overline{BO} = \overline{OD} \) per il teorema sulle diagonali di un parallelogramma dimostrato in precedenza.
    In particolare i due triangoli avranno uguali gli angoli \( \widehat{BOA} \) e \( \widehat{AOD} \); la loro somma è un angolo piatto perché essi sono consecutivi ed i loro lati \( \overline{BO} \) e \( \overline{OD} \) sono adiacenti. Quindi presi singolarmente varranno un angolo retto; ciò significa che i segmenti \( \overline{BD} \) e \( \overline{AO} \) sono perpendicolari e quindi lo sono le due diagonali. C.V.D.


    Dimostriamo adesso che se un parallelogramma ha le diagonali ortogonali, esso è un rombo. Poiché il quadrilatero è un parallelogramma sappiamo già che i lati opposti sono congruenti e quindi ci basta dimostrare che due lati consecutivi lo siano per ottenere la tesi invocando la proprietà transitiva dell'uguaglianza. Consideriamo i triangoli ABO ed AOD; essi sono congruenti per il primo principio di congruenza infatti hanno:
    \( \overline{AO} \) in comune;
    \( \overline{BO} = \overline{OD} \) per il teorema sulle diagonali di un parallelogramma dimostrato in precedenza.
    \( \widehat{BOA} =\widehat{AOD} \) perché angoli formati da lati ortogonali e per questo entrambi retti.
    I due triangoli hanno allora tutti gli elementi uguali a due a due ed in particolare avranno \( \overline{AB} = \overline{AD} \) e per la proprietà transitiva tutti i lati del parallelogrammo sono uguali quindi esso è un rombo. C.V.D.


  • quadrato; un parallelogramma con i quattro angoli e quattro lati uguali cioè una figura geometrica con le caratteristiche sia del rombo che del rettangolo.



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