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Algebra

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Analisi

Definizione di Relazione Definizione di Funzione

Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Punti notevoli del triangolo

Circocentro

Definiamo Circocentro il punto di incontro degli assi dei lati di un triangolo; esso coincide con il centro della circonferenza circoscritta al triangolo(cioè passante per i vertici del triangolo).
Dimostriamo prima che tutti e tre gli assi dei lati si incontrano in uno stesso punto; consideriamo l'asse del lato \( \overline{AB} \) e quello del lato \( \overline{BC} \), essi si incontreranno in un punto che chiamiamo O. Per la definizione di asse del segmento sappiamo che:
per l'asse del segmento di \( \overline{AB} \) si ha \( \overline{OA} = \overline{OB} \);
per l'asse del segmento di \( \overline{BC} \) si ha \( \overline{OB} = \overline{OC} \).
Quindi per la proprietà transitiva dell'uguaglianza otteniamo \( \overline{OA} = \overline{OC} \); ciò significa che il punto O si trova alla stessa distanza dai punti A e C che sono gli estremi del lato \( \overline{AC} \) e quindi il punto O appartiene certamente all'asse del segmento \( \overline{AC} \).
Dall'uguaglianza dei tre segmenti \( \overline{OA} \) , \( \overline{OB} \) e \( \overline{OC} \) ricaviamo che è possibile tracciare una circonferenza di raggio \( r= \overline{OA} \) e centro O che sia esterna al triangolo e lo tocchi nei suoi vertici; è possibile allora inscrivere il triangolo in una circonferenza oppure è possibile tracciare una circonferenza circoscritta al triangolo. C.V.D.

Dimostriamo adesso che il centro di una circonferenza circoscritta ad un triangolo è il punto di incontro degli assi di simmetria (o assi dei segmenti ) dei lati.
Poiché la circonferenza ha centro O e tocca i vertici del triangolo si ha che \( \overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC} \) perché sono tutti raggi della circonferenza. Dall'uguaglianza \( \overline{OA} = \overline{OB} \) ricaviamo che O appartiene all'asse del lato \( \overline{AB}\) , da \( \overline{OB} = \overline{OC} \) ricaviamo che O appartiene all'asse di simmetria di \( \overline{BC} \) e da \( \overline{OA} = \overline{OC} \) ricaviamo che O appartiene all'asse di \( \overline{AC} \); quindi O è il punto di incontro degli assi dei lati. C.V.D.

Incentro

Definiamo Incentro il punto di incontro delle bisettrici degli angoli del triangolo; esso coincide con il centro della circonferenza inscritta al triangolo(cioè tangente ai tre lati del triangolo). Diamo prima la definizione di bisettrice:
Si definisce bisettrice di un angolo il luogo geometrico dei punti equidistanti dai lati dell'angolo stesso.
Iniziamo a dimostrare che le tre bisettrici si incontrano in uno stesso punto. Tracciamo le bisettrici degli angoli \( \widehat{BAC} \) e \( \widehat{ACB} \); esse si incontrano in un punto O. Dalla definizione di bisettrice come luogo geometrico otteniamo:
per la bisettrice \( \overline{OA} \) l'uguaglianza \( \overline{OF} = \overline{OD} \);
per la bisettrice \( \overline{OC} \) l'uguaglianza \( \overline{OE} = \overline{OD} \).
Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza ottengo che \( \overline{OF} = \overline{OE} \) che mi garantisce l'appartenenza di O alla bisettrice dell'angolo \( \widehat{CBA} \) essendo equidistante dai lati dell'angolo stesso. é possibile allora costruire una circonferenza di centro O e raggio \( r= \overline{OF} \) che sia interna al triangolo e lo tocchi solo in un solo punto per ogni lato. C.V.D.

Dimostriamo adesso che presa una circonferenza inscritta ad un triangolo, il suo centro rappresenta il punto di incontro delle tre bisettrici.
Poichè la circonferenza è inscritta al triangolo esistono tre punti, uno per lato, per i quali risulta \( \overline{OF} = \overline{OE} = \overline{OD} \) perché tutti raggi; prese a due a due queste uguaglianze ci garantiscono che O appartiene alle bisettrici dei tre angoli infatti è equidistante dai lati degli angoli ( \( \overline{OA} \) , \( \overline{OB} \) e \( \overline{OC} \) sono ortogonali ai lati perché raggi nei punti di tangenza alla circonferenza e quindi rappresentano la distanza di O dai lati ). C.V.D.

Ortocentro

Definiamo Si definisce Ortocentro il punto di incontro delle tre altezze del triangolo.
Dimostriamo che le tre altezze si incontrano in uno stesso punto.
Consideriamo il triangolo in ABC in figura e tracciamo le tre altezze \( \overline{AH} \) , \( \overline{BK} \) e \( \overline{CN} \), tracciamo inoltre per ogni vertice la parallela al lato opposto; queste parallele daranno vita ad un nuovo triangolo DEF come in figura. Dalla figura consideriamo il quadrilatero BECA che per costruzione è un parallelogramma e quindi ha i lati opposti uguali; otteniamo per esso \( \overline{BE} = \overline{AC} \). Considerando invece il parallelogramma DBCA otteniamo allo stesso modo \( \overline{DB} = \overline{AC} \). Per la proprietà transitiva otteniamo \( \overline{BE} = \overline{DB} \) cioè B è punto medio del lato \( \overline{DE} \). Ripetendo tutto il ragionamento per altre coppie di parallelogrammi si ricava che il vertice A del triangolo piccolo è punto medio di \( \overline{DF} \) mentre il vertice C lo è di \( \overline{EF} \).
Osserviamo ora le altezze del triangolo piccolo:
- \( \overline{AH} \) è ortogonale a \( \overline{DF} \), perché per definizione di altezza lo è alla sua parallela \( \overline{BC} \), e passa per il punto medio di \( \overline{DF} \) e ne è quindi l'asse del segmento;
- \( \overline{BK} \) è ortogonale a \( \overline{DE} \), perché per definizione di altezza lo è alla sua parallela \( \overline{AC} \), e passa per il punto medio di \( \overline{DE} \) e ne è quindi l'asse del segmento;
- \( \overline{CN} \) è ortogonale a \( \overline{EF} \), perché per definizione di altezza lo è alla sua parallela \( \overline{AB} \), e passa per il punto medio di \( \overline{EF} \) e ne è quindi l'asse del segmento.
Quindi le tre altezze del triangolo piccolo rappresentano i tre assi dei lati del triangolo grande che di sicuro si incontrano nel Circocentro; allora di sicuro le tre altezze si incontrano in uno stesso punto, anche se non per forza esso è interno al triangolo piccolo. C.V.D.

Baricentro

Definiamo Si definisce baricentro il punto di intersezione delle tre mediane del triangolo; esso fisicamente rappresenta il centro di massa del triangolo cioè se il triangolo fosse una lamina omogenea potremmo sorreggerlo da questo solo punto e lui resterebbe in equilibrio. Per le mediane vale la proprietà che il baricentro le divide in due parti in cui quella dal lato del vertice è doppia dell'altra.
Prima di cominciare la dimostrazione di queste proprietà richiamiamo una parte del teorema di Talete di cui avremo bisogno nella dimostrazione stessa:Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti uguali su una trasversale corrispondono segmenti uguali sull'altra.
Dimostriamo prima che due mediane si incontrano e che il punto di incontro ne divide una in due parti di cui una il doppio dell'altra.
Dalla figura consideriamo le mediane \( \overline{AM} \) e \( \overline{BN} \) che si incontrano in un punto O; tracciamo adesso le parallele ad \( \overline{AM} \) passanti per i punti medi dei lati \( \overline{AB} \) ed \( \overline{AC} \) e per i vertici B e C. Consideriamo questo fascio di parallele tagliate dalle trasversali \( \overline{AB} \) e \( \overline{BC} \); per il teorema di Talete otteniamo:
\( \overline{BF} = \overline{FM} \) perché sull'altra trasversale si ha \( \overline{BP} = \overline{PA} \) dato che P è punto medio di \( \overline{AB} \).
Allo stesso modo considerando le trasversali \( \overline{AC} \) e \( \overline{BC} \) otteniamo \( \overline{MG} = \overline{GC} \) perché cu \( \overline{AC} \) si ha \( \overline{AN} = \overline{NC} \) essendo N punto medio. Osserviamo adesso che il punto M è punto medio del lato \( \overline{BC} \) e quindi risulta \( \overline{BM} = \overline{MC} \); ma \( \overline{BM} = \overline{BF} + \overline{FM} \) e \( \overline{MC} = \overline{MG} + \overline{GC} \) quindi otteniamo
\( \overline{BF} = \overline{FM} = \overline{MG} = \overline{GC} \).

Infine consideriamo nuovamente il fascio di parallele tagliato stavolta dalle trasversali \( \overline{BC} \) e \( \overline{BN} \); per il teorema di Talete otteniamo \( \overline{BD} = \overline{DO} = \overline{ON} \) sulla trasversale \( \overline{BN} \) perché sulla trasversale \( \overline{BC} \) si ha \( \overline{BF} = \overline{FM} = \overline{MG} \) come prima dimostrato. Considero il segmento \( \overline{BO}= \overline{BD} + \overline{DO} \) ma i due addendi sono entrambi uguali a \( \overline{ON} \) e quindi si ha \( \overline{BO}= \overline{ON} + \overline{ON} = 2\cdot \overline{ON} \). C.V.D.

Consideriamo adesso le mediane \( \overline{BN} \) e \( \overline{CP} \); esse si incontrano in un punto che chiamiamo O'. Consideriamo adesso il fascio di parallele a \( \overline{CP} \) e con ragionamenti simili a quelli precedenti riusciamo ad ottenere \( \overline{BO'}= 2\cdot \overline{O'N} \); quindi il punto O' ha le stesse caratteristiche del punto O ed anche esso si trova sul segmento \( \overline{BN} \) quindi con può che coincidere con il punto O. Allora tutte le mediane si incontrano nello stesso punto ed inoltre come per la mediana \( \overline{BN} \), anche le altre si tagliano in parti l'una doppia dell'altra. C.V.D.



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