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Algebra

Numeri Reali, Radicali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

Geometria cartesiana

Piano cartesiano Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Calcolo delle probabilità

Calcolo probabilità Teorema probabilità totale Teorema probabilità composta

Statistica

Cenni di statistica Rappresentazione grafica Indicatori per l'analisi dei dati

Geometria

Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli similiSimilitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Omotetia


L'omotetia è una trasformazione geometrica che conserva la forma degli elementi trasformati mentre ne cambia le dimensioni; per avere una trasformazione omotetica abbiamo bisogno di individuare un punto del piano cartesiano che faccia da centro della trasformazione ed un numero reale che identifichi il rapporto di trasformazione.

Dato un numero reale k ed indicato un punto del piano O definiamo Omotetia di centro O e rapporto k la trasformazione dei punti del piano che associa ad ogni punto P il punto P' tale che O, P e P' si trovano sulla stessa retta ed il rapporto \( \frac{\vec{OP'}}{\vec{OP}}=k \)

omotetia applicata ad un punto
Per ottenere una omotetia scegliamo un punto O del piano e decidiamo che il rapporto k dell'omotetia valga ad esempio 3; per il generico punto P dobbiamo allora tracciare la retta che passa per O e P. Su questa retta si troverà anche il punto P' trasformazione di P e si troverà ad una distanza tripla dal punto O rispetto a quella di P da O. Se k fosse stato un numero negativo ad esempio -2 la distanza sarebbe stata doppia mentre pa posizione di P' sarebbe stata opposta a quella di P rispetto ad O

Vediamo adesso le possibili trasformazioni che si ottengono al variare del rapporto k:
  • per k positivo il punto P viene trasformato nel punto P' che si trova dalla stessa parte di P rispetto ad O (omotetia diretta)

  • per k negativo il punto P viene trasformato nel punto P' che si trova dalla parte opposta di P rispetto ad O (omotetia inversa)

  • per k=1 il punto P viene trasformato nel punto P' che coincide con P e quindi l'omotetia è una identità

  • per k=-1 il punto P viene trasformato nel punto P' che si trova dalla parte opposta di P rispetto ad O ma alla stessa distanza cioè in posizione simmetrica a P rispetto al punto O; l'omotetia rappresenta una simmetria centrale

  • per k>1l'omotetia aumenta la distanza di P' da O rispetto a quella di P da O e nel caso sia una figura geometrica ad essere trasformata, essa risulta ingrandita

  • per 0<k<1l'omotetia riduce la distanza di P' da O rispetto a quella di P da O e nel caso sia una figura geometrica ad essere trasformata, essa risulta rimpicciolita

Proprietà dell'omotetia

Una omotetia trasforma una retta in una retta parallela

omotetia applicata alla retta
Consideriamo un punto O del piano esterno ad una retta r ed un numero reale k; costruiamo l'omotetia di centro O e rapporto k. Prendiamo due punti A e B appartenenti ad r e tracciamo le semirette che partono da O e passano per i punti stessi. L'omotetia individua due punti A' e B', uniamoli e dimostriamo che la retta r' passante per questi due punti è parallela alla retta r. Consideriamo queste due rette tagliate dalle trasversali \( \overline{OA'} \) e \( \overline{OB'} \); esse staccano sulle trasversali segmenti proporzionali infatti$$\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\frac{\overline{OB'}}{\overline{OB}}=k$$ quindi \( \overline{OA'} : \overline{OA}=\overline{OB'} : \overline{OB} \). Quindi le due rette sono parallele per il teorema inverso di Talete C.V.D.

Una omotetia trasforma un segmento in un segmento parallelo ed cui rapporto con il segmento di partenza vale K

omotetia applicata al segmento
Di sicuro l'omotetia trasforma il segmento in uno parallelo dato che trasforma rette in rette parallele. Dato allora un segmento \( \overline{AB} \), l'omotetia di centro O e rapporto k lo trasforma nel segmento \( \overline{A'B'} \); dimostriamo che il rapporto tra il segmento trasformato e quello di partenza vale k cioè$$\frac{ \overline{A'B'} }{ \overline{AB} }=k$$Consideriamo le rette parallele che contengono i segmenti \( \overline{AC} \textrm{ e } \overline{OB'} \) tagliate dalle trasversali \( \overline{A'B'} \textrm{ e } \overline{A'O} \); per il teorema di Talete si ha $$ \overline{B'C} : \overline{CA'}= \overline{OA} : \overline{AA'}$$applicando la proprietà del comporre si ha$$(\overline{B'C} + \overline{CA'}) : \overline{B'C}= ( \overline{OA} + \overline{AA'}) : \overline{OA} \\ \overline{A'B'} : \overline{B'C}= \overline{PA'} : \overline{PA}$$Osserviamo che per costruzione il quadrilatero ABB'C è un parallelogramma e quindi ha i lati opposti congruenti; in particolare risulta \( \overline{B'C}= \overline{AB} \). Sostituendo nella proporzione otteniamo $$\overline{A'B'} : \overline{AB}= \overline{PA'} : \overline{PA}$$Ma il rapporto al secondo membro vale k quindi si ha \( \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=k \) C.V.D.
Da questo risultato ricaviamo che l'omotetia trasforma segmenti congruenti in segmenti congruenti, circonferenze in circonferenze e poligoni in poligoni dello stesso tipo. Vediamo adesso come trasforma gli angoli.


Una omotetia trasforma un angolo in un altro angolo ad esso congruente

omotetia applicata ad un angolo
Consideriamo l'angolo α delimitato dalle due semirette a e b, e l'omotetia di centro O e rapporto k; quest'ultima trasforma le due semirette in due semirette ad esse parallele a' e b' ed il punto di incontro P (delle semirette a e b) nel punto P' di incontro tra le semirette a' e b' quindi l'angolo α nell'angolo α'. Consideriamo le due rette parallele a ed a' tagliate dalla trasversale b; esse formano angoli corrispondenti uguali quindi l'angolo β formato dalle due rette a e b' è congruente con l'angolo α ad esso corrispondente. Consideriamo adesso le rette b e b' tagliate dalla trasversale a'; esse formano angoli corrispondenti uguali ed in particolare risulta α'=β. Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si ha α'=α quindi l'omotetia trasforma angoli in angoli congruenti C.V.D.



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