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Algebra

Numeri Reali, Radicali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

Geometria cartesiana

Piano cartesiano Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Calcolo delle probabilità

Calcolo probabilità Teorema probabilità totale Teorema probabilità composta

Statistica

Cenni di statistica Rappresentazione grafica Indicatori per l'analisi dei dati

Geometria

Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Misura delle grandezze


Si definisce grandezza ogni proprietà misurabile della materia; ad esempio la massa di un oggetto, la lunghezza di un percorso, ecc.

Due grandezze si dicono omogenee se è possibile esprimerle con la stessa unità di misura; ad esempio perimetro e lato di una figura geometrica. Diversamente si dice che le due grandezze non sono omogenee; ad esempio la lunghezza di un circuito ed il tempo impiegato per percorrerlo.

Nella geometria euclidea un postulato ci assicura l'esistenza del sottomultiplo di un segmento, quindi sappiamo che ogni segmento è divisibile in n segmenti uguali dove n è un numero naturale; diamo allora la definizione di grandezze commensurabili:
due grandezze si dicono commensurabili se esse hanno un sottomultiplo comune; diversamente si dicono incommensurabili.

Date due grandezze A e B, esse sono commensurabili se esiste un sottomultiplo di entrambe C per il quale risulti \( A=n\cdot C \) e \( B=m\cdot C \) con n ed m numeri naturali; facciamo il rapporto tra A e B ed otteniamo $$\frac{A}{B}=\frac{n\cdot C}{m\cdot C}=\frac{n}{m}$$questa frazione ha come numeratore e denominatore due numeri naturali e quindi rappresenta un numero razionale; ne ricaviamo la definizione:
due grandezze si dicono commensurabili se il loro rapporto è un numero razionale mentre se il rapporto è un numero irrazionale le misure sono incommensurabili.

Teorema

Lato e diagonale del quadrato sono due grandezze incommensurabili

Consideriamo il quadrato ABCD e tracciamo la diagonale \( \overline{BD} \); per semplicità indichiamo con "l" la lunghezza del lato del quadrato e con "d" la lunghezza della diagonale. Consideriamo il triangolo ABD, esso è rettangolo in A ed ha i due cateti uguali. Per il teorema di pitagora sappiamo che il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti e quindi, come vedremo più avanti, \(d^2=l^2+l^2 \) Da questa relazione ricaviamo il rapporto tra i quadrati di diagonale e lato$$d^2=l^2+l^2 \\ d^2=2l^2 \\ \frac{d^2}{l^2}=2$$Passando alle radici quadrate otteniamo \( \frac{d}{l}=\sqrt{2} \) che ci garantisce l'irrazionalità del rapporto tra le lunghezze di lato e diagonale di un quadrato. C.V.D.

In generale il rapporto tra due grandezze è sempre un numero reale cioè date due grandezze A e B si ha \( \frac{A}{B}=r \) dove r è un numero reale (cioè può essere sia un numero razionale che uno irrazionale); se nel rapporto tra queste due grandezze consideriamo la seconda come unità di misura otteniamo che il rapporto indica esprime la misura della prima grandezza rispetto alla seconda. Nel caso del quadrato di lato l avremo che preso l come unità di misura otteniamo che la diagonale misura \( \sqrt{2} \).

Date due grandezze omogenee A e B si definisce misura di A rispetto a B il rapporto \( \frac{A}{B}=r \) dove r è un numero reale e B è detta unità di misura.

Teorema

Il rapporto tra due grandezze omogenee equivale al rapporto tra le loro misure rispetto ad una terza grandezza

Consideriamo le grandezze A e B omogenee e siano r ed s le loro misure rispetto alla grandezza C; calcoliamo il rapporto tra A e B$$\frac{A}{B}=\frac{r\cdot C}{s\cdot C}=\frac{r}{s}$$



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