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Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Geometria euclidea

Si definisce geometria euclidea quella basata sui postulati di Euclide

Punto, retta e piano sono concetti primitivi di questa geometria, ovvero concetti che si suppongono intuitivamente comprensibili e quindi non necessitano di una definizione; essi rappresentano i mattoni con cui costruire tutte le altre entità geometriche geometria. I postulati, invece, sono proposizioni che si assumono per vere senza dimostrazione e rappresentano le regole di base che tutti gli oggetti geometrici devono seguire e dalle quali si ricavano tutti i teoremi successivi. Per la geometria euclidea i postulati più importanti sono:
  • I postulato; Dati due punti distinti A e B, esiste una e una sola retta che li contiene entrambi, oppure, per due punti passa una e una sola retta.

  • II postulato; Si può prolungare una retta indefinitamente.

  • III postulato; Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio di centro il punto e raggio la lunghezza.

  • IV postulato; Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro.

  • V postulato; Data una retta r ed un punto P esterno ad essa, esiste una sola retta s parallela ad r e contenente P.

  • VI postulato; Presi due punti qualsiasi su una retta ne esiste sempre un terzo tra di essi; si dice che la retta è un insieme denso di punti.



Prime conseguenze dei concetti primitivi e di questi postulati sono le definizioni di segmento e semiretta ed alcune relazioni riguardo a punti rette e piani:
  • una semiretta è ciascuna delle due parti in cui è divisa una retta da un suo punto interno; essa ha quindi un inizio ma non una fine.
  • un segmento è un tratto di retta racchiuso tra due punti.
  • un angolo è una delle due parti in cui il piano viene suddiviso da due semirette aventi la stessa origine.
  • per un punto passano infinite rette.
  • per due punti passa una sola retta.
  • per una retta nello spazio passano infiniti piani.
  • per tre punti non allineati passa un solo piano.
In generale si è soliti indicare le rette con le lettere minuscole, i punti e gli estremi dei segmenti con lettere maiuscole e gli angoli con le lettere dell'alfabeto greco oppure con i tre estremi maiuscoli dei segmenti con al centro quella del vertice con sopra il simbolo ^.

Vediamo ora come operare con le entità geometriche; in particolare definiamo il concetto di congruenza e le operazioni di addizione e sottrazione tra segmenti o angoli.
Due entità geometriche sono congruenti se con un movimento rigido ( cioè che non ne modifichi la forma ) si possono sovrapporre in modo che coincidano punto per punto. Per indicare che due elementi sono congruenti si utilizza il simbolo di ugualianza (N.B. due elementi sono uguali solo se occupano lo stesso spazio nello stesso tempo, cioè se sono lo stesso elemento).
Per sommare due segmenti dobbiamo renderli adiacenti, cioè consecutivi ed allineati; il segmento somma è quello che ha per estremi il primo estremo del primo addendo ed il secondo estremo dell'altro.

Per sottrarre ad un segmento un altro segmento basta sovrapporli facendo coincidere due loro estremi e considerare come differenza la loro parte non comune.

Per sommare due angoli dobbiamo renderli consecutivi cioè posti uno di seguito all'altro e con un lato in comune; l'angolo somma è quello delimitato dai lati di partenza non sovrapposti.

Per sottrarre due angoli dobbiamo sovrapporli facendo coincidere due lati; l'angolo differenza sarà la parte non comune.


Un angolo si definisce convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati; diversamente si definisce concavo.
In figura le linee in verde rappresentano i prolungamenti dei lati degli angoli α e β quindi diremo che α è convesso mentre β è concavo.


Due angoli sono opposti al vertice se i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro. Per essi vale il seguente teorema.

Teorema sugli angoli opposti al vertice

Due angoli opposti al vertice sono uguali.
Consideriamo gli angoli α e β ; essi sono opposti al vertice. Per dimostrare che sono uguali consideriamo le somme ( α + δ ) e ( β + δ ); notiamo che questi angoli somma sono uguali perché entrambi piatti. Poiché δ è lo stesso in tutti e due possiamo ricavare sia α che β come differenza tra gli stessi angoli quindi essi sono uguali. C.V.D.



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