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Algebra

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Area del cerchio


Per il calcolo dell'area del cerchio dobbiamo operare allo stesso modo di come abbiamo fatto per calcolare la lunghezza della circonferenza; dobbiamo allora costruire due classi contigue di valori di superfici in modo che l'area del cerchio ne sia l'elemento di separazione. Ancora una volta le due classi saranno rispettivamente quella delle aree dei poligoni regolari inscritti alla circonferenza e quella delle aree dei poligoni regolari circoscritte alla medesima circonferenza.

Sottostima dell'area del cerchio

Consideriamo l'area dei poligoni regolari inscritti in una circonferenza; notiamo che:

all'aumentare del numero dei lati aumenta l'area del poligono
poligoni inscritti alla circonferenza
Osserviamo dalla figura che raddoppiando il numero di lati del poligono (passando da un triangolo equilatero ad un esagono) si ottiene un poligono la cui area è equivalente a quella del poligono di partenza più l'area dei triangoli formati rispettivamente da un lato del poligono iniziale e due lati del poligono finale (in figura l'area dell'esagono è formata dall'area del triangolo più tre aree di triangoli che hanno per base un lato del triangolo e per lati obliqui due lati dell'esagono) quindi di sicuro risulta che l'area del poligono con numero doppio di lati è maggiore dell'area del poligono di partenza; quindi all'aumentare dei lati l'area aumenta. C.V.D.

ogni poligono regolare inscritto alla circonferenza ha area minore di quella del cerchio
Basta notare che i lati del poligono sono tutte corde della circonferenza quindi non copriranno mai l'intera area del cerchio; infatti per coprire l'intero cerchio mancherà sempre la somma delle aree racchiuse tra il lato (corda) e l'arco di circonferenza a cui è sotteso. C.V.D.

Sovrastima dell'area del cerchio

Consideriamo l'area dei poligoni regolari circoscritti ad una circonferenza; notiamo che:

all'aumentare del numero dei lati diminuisce l'area del poligono
Ricordiamo che l'area di un poligono circoscritto alla circonferenza si calcola come prodotto tra il semiperimetro del poligono ed il raggio della circonferenza; essendo tutti i poligoni circoscritti alla medesima circonferenza il raggio sarà sempre lo stesso mentre all'aumentare del numero dei lati abbiamo già visto che il perimetro dei poligoni diminuisce(vedi pagina precedente). Quindi possiamo dedurre che all'aumentare dei lati si ha un continuo decremento dell'area del poligono. C.V.D.

ogni poligono regolare circoscritto alla circonferenza ha area maggiore di quella del cerchio
area poligoni circoscritti alla circonferenza
Basta notare che l'area di ogni poligono circoscritto è costituita dall'area del cerchio più la somma delle aree racchiuse tra i segmenti di tangente che partono da ogni vertice del poligono ed il rispettivo arco individuato dai punti di tangenza. Questo accade qualsiasi sia il numero di lati del poligono quindi possiamo affermare che tutti i poligoni circoscritti hanno area maggiore di quella del cerchio. C.V.D.
Ad esempio in figura sono rappresentate le aree del cerchio e quelle del triangolo (viola), del quadrato (verde),del pentagono (celeste) e dell'esagono (rosso) circoscritti evidenziando le eccedenze di queste aree rispetto a quella del cerchio.

Conclusioni

Abbiamo allora costituito due classi di valori contigue infatti esse godono dell'avvicinamento indefinito (basta aumentare il numero dei lati per veder crescere l'area dei poligoni inscritti e decrescere l'area dei poligoni circoscritti quindi nel complesso diminuire la loro differenza) e sono inoltre separate (infatti le aree dei poligoni inscritti sono tutte inferiori a quella del cerchio che è inferiore a tutte quelle dei poligoni circoscritti). Queste due classi hanno un solo elemento di separazione che rappresenta proprio l'area del cerchio.

Determinazione numerica dell'area del cerchio

Per determinare numericamente l'area cerchio di raggio r si procede quindi per approssimazioni sempre più raffinate. Si osserva che l'area del cerchio è direttamente proporzionale al quadrato del raggio ed il coefficiente di proporzionalità è ancora una volta π come tra circonferenza e diametro. Quindi si ha $$A(cerchio)=\pi \cdot r^2$$riscriviamo questa formula come \( \pi \cdot r \cdot r =(\pi \cdot r)\cdot r \) che ricorda la formula per il calcolo dell'area dei poligoni circoscritti dove al posto del semiperimetro del poligono vi è la semicirconferenza; quindi possiamo affermare che l'area del cerchio è come se fosse l'area di un poligono di infiniti lati il cui perimetro è uguale alla lunghezza della circonferenza.



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