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Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Lunghezza della circonferenza


Il concetto di lunghezza del segmento e di misura nel piano euclideo trasportato nella realtà è come se girassimo il mondo a misurare gli oggetti solo con un righello rigido; in queste ipotesi avremmo non poche difficoltà a misurare la lunghezza di una circonferenza. Consideriamo ad esempio una ruota di cui vogliamo calcolare la circonferenza; nella realtà abbiamo diverse scelte come ad esempio legarvi intorno una corda in modo che compia un solo giro completo, tagliando via la parte avanzata, e poi distenderla in modo che formi una linea retta e confrontarla con il nostro righello rigido, oppure far ruotare la ruota stessa sulla sabbia stando attenti a farle compiere un solo giro sempre nella stessa direzione e misurare col righello la traccia che ha lascia. Osserviamo che in entrambi i casi abbiamo escogitato un metodo per rendere rettilineo ciò che è curvo; questo vale nella pratica ma anche nella teoria cioè il problema che ci porremo è quello di rettificare la circonferenza. Assodato che non è possibile raddrizzare le circonferenze procediamo cercando di costruire un segmento ad essa equivalente. In particolare costruiremo un insieme di segmenti che si avvicinano sempre più alla curva restando sempre minori di essa ed un altro insieme di segmenti che le si avvicinano sempre più restando sempre maggiori; a questo punto dimostreremo che queste due classi separate e contigue e che la misura della circonferenza ne rappresenta l'unico elemento di separazione. Cominciamo introducendo un altro postulato che che riguarda la lunghezza di un arco di circonferenza:
arco di circonferenza
Ogni arco di circonferenza è maggiore della corda ad esso sottesa e minore della somma dei segmenti individuati dalle tangenti nei suoi estremi$$\overline{BC} < arco(BC) < \overline{AB}+\overline{BC}$$

Sottostima della circonferenza

Costruiamo adesso un insieme di figure geometriche che si avvicini sempre più alla circonferenza restandone sempre minore; fanno al caso nostro i poligoni regolari inscritti alla circonferenza; ogni poligono regolare infatti, è sempre inscrivibile alla circonferenza ed il raggio della circonferenza rappresenta i lati obliqui dei triangoli congruenti in cui è possibile suddividere il poligono unendo i suoi vertici con il centro della circonferenza.
Notiamo adesso che:

all'aumentare del numero dei lati aumenta il perimetro del poligono
poligoni inscritti alla circonferenza
Si dimostra ad esempio che per ogni poligono regolare inscritto in una circonferenza quello che possiede il doppio dei lati avrà perimetro maggiore
Consideriamo ad esempio un triangolo equilatero e l'esagono regolare essi avranno tre vertici coincidenti infatti il triangolo equilatero stacca sulla circonferenza tre corde uguali e quindi tre archi uguali mentre l'esagono forma sei corde e sei archi uguali e quindi ogni arco formato dal triangolo è doppio di quello formato dall'esagono e scegliendo i primi vertici delle due figure coincidenti (lo possiamo sempre fare) il secondo del triangolo coinciderà con il terzo dell'esagono ed il terzo del triangolo con il quinto. Osserviamo allora un triangolino (ABC) di quelli formati dai lati delle due figure ed osserviamo che per la disuguaglianza triangolare si ha che $$ \overline{BC} < \overline{AB} + \overline{AC} $$ma il primo rappresenta il lato del triangolo mentre il secondo membro della disequazione è la somma di due lati dell'esagono. Questa disequazione vale per ogni lato del triangolo; calcoliamo quindi il perimetro del triangolo \( A(triangolo)=3\cdot \overline{BC} \) ma se moltiplichiamo i due membri della disequazione precedente per tre otteniamo $$3\cdot \overline{BC} < 3\cdot \overline{AB} + 3\cdot \overline{AC} \\ 3\cdot \overline{BC} < 6\cdot \overline{AB}$$ essendo i segmenti a secondo membro uguali perché lati di un esagono regolare; quindi otteniamo che il perimetro del triangolo è minore di quello dell'esagono. Questo ragionamento è valido per ogni poligono regolare inscritto ed il poligono regolare con il doppio dei lati. C.V.D.

ogni poligono regolare inscritto alla circonferenza ha perimetro minore di quello della circonferenza stessa
Per il postulato descritto in precedenza sappiamo che ogni corda è sempre minore dell'arco a cui è sottesa; questa diseguaglianza vale per ogni lato del poligono inscritto e quindi la somma di tutti i lati è minore della somma di tutti gli archi cioè il perimetro del poligono è minore della circonferenza. C.V.D.

Sovrastima della circonferenza

Costruiamo adesso l'insieme di figure geometriche il cui perimetro si avvicina sempre più a quello della circonferenza restando però sempre maggiore di essa. Fanno al caso nostro i poligoni regolari circoscritti alla circonferenza; ogni poligono regolare infatti, è sempre circoscrivibile alla circonferenza ed il raggio della circonferenza rappresenta l'altezza dei triangoli congruenti in cui è possibile suddividere il poligono unendo i suoi vertici con il centro della circonferenza.
Notiamo adesso che:

all'aumentare del numero dei lati diminuisce il perimetro del poligono
poligoni circoscritti alla circonferenza
Si dimostra ad esempio che per ogni poligono regolare circoscritto ad una circonferenza quello che possiede il doppio dei lati avrà perimetro minore
Consideriamo ad esempio il caso del triangolo equilatero e dell'esagono regolare, potendo estendere il ragionamento ad ogni poligono regolare ed il poligono con il doppio dei lati. Osserviamo che l'esagono è ottenibile tracciando le tangenti nei punti medi degli archi delimitati dai punti di incontro di triangolo e circonferenza. Si costruiscono così tre triangoli che hanno per base un lato dell'esagono e per lati obliqui parti del lato del triangolo circoscritto; per ognuno di questi triangolini vale la disuguaglianza triangolare e quindi la base è minore della somma degli altri due lati$$ \overline{BC} < \overline{AB} + \overline{AC} $$Osserviamo adesso che ogni lato del triangolo equilatero circoscritto si suddivide in tre parti di cui una (quella centrale) coincide con un lato dell'esagono mentre le altre sono lati obliqui dei triangolini considerati prima; questi triangolini sono evidentemente tutti uguali e sicuramente tutti isosceli per come sono stati costruiti. Detto l un lato obliquo di questi triangoli ed indicato con \( \overline{BC} \) il generico lato dell'esagono si ha che ogni lato del triangolo equilatero vale \( \overline{BC}+2l \); calcoliamo allora il perimetro del triangolo equilatero $$P(triangolo)=3\cdot (\overline{BC}+2l)=3\overline{BC}+6l$$Ricordiamo la disuguaglianza ottenuta prima ( \( \overline{BC} < 2l \) ) e moltiplichiamo entrambi i suoi membri per 3 ottenendo \( 3\overline{BC} < 6l \); sostituendo quindi nella formula dell'area del triangolo al posto di 6l il valore \( 3\overline{BC} \) ottengo un valore minore cioè$$P(triangolo)=3\overline{BC}+6l > 3\overline{BC} + 3\overline{BC}=6\overline{BC}$$Ma l'ultimo termine rappresenta il perimetro dell'esagono circoscritto che in questo modo abbiamo dimostrato essere minore del perimetro del triangolo equilatero anch'esso circoscritto alla circonferenza. C.V.D.

ogni poligono regolare circoscritto alla circonferenza ha perimetro maggiore di quello della circonferenza stessa
Consideriamo un poligono regolare circoscritto; per definizione i lati sono tangenti alla circonferenza quindi possiamo dire che da ogni vertice partono due segmenti tangenti alla circonferenza. Essendo il poligono regolare, tutti questi segmenti sono uguali ed equivalenti alla metà del lato del poligono; osserviamo anche che per il postulato visto prima la somma di due di questi segmenti è maggiore dell'arco individuato dai suoi estremi non coincidenti. Calcolando quindi la circonferenza si avrebbe una somma di tanti archi quanti sono i lati del poligono circoscritto (ogni lato individua un estremo dell'arco con il punto di tangenza), ognuno di questi archi per il postulato è minore della somma di due segmenti di tangente; si ha allora che la circonferenza è minore della somma di tanti segmenti di tangente quanto il doppio del numero dei lati (ad 1 lato corrisponde 1 arco e 2 segmenti). La somma di due segmenti però è uguale alla lunghezza di un lato del poligono quindi otteniamo che la circonferenza è minore della somma dei lati del poligono cioè è minore del suo perimetro. C.V.D.

conclusioni

Abbiamo allora costruito due insiemi A costituito dai perimetri dei poligoni inscritti e B costituito dai perimetri dei poligoni circoscritti ed abbiamo anche dimostrato che questi due insiemi sono due classi contigue infatti:
sono separate perché il perimetro di ogni poligono inscritto è sempre minore di quello di qualsiasi poligono circoscritto dato che risulta il primo minore della circonferenza ed il secondo maggiore$$P(inscritto) < circonferenza < P(circoscritto) \\ P(inscritto) < P(circoscritto)$$ godono dell'avvicinamento indefinito perché aumentando il numero dei lati il perimetro dei poligoni inscritti cresce e quello dei poligoni circoscritti decresce quindi la differenza tra i perimetri diminuisce indefinitamente.

Esiste allora un unico elemento di separazione tra queste due classi ed esso è proprio la lunghezza della circonferenza.

Determinazione numerica della circonferenza

Per determinare numericamente la lunghezza della circonferenza di raggio r si procede quindi per approssimazioni sempre più raffinate. Di sicuro la lunghezza della circonferenza dipenderà dalla lunghezza del raggio; in particolare si nota che essa è proporzionale al raggio. Si è quindi per convenzione cercato il coefficiente di proporzionalità tra la circonferenza ed il diametro cioè il doppio del raggio; questo coefficiente è un numero trascendente (irrazionale non ottenibile come soluzione di una equazione), viene per convenzione indicato con la lettera greca π e viene chiamato "pi greco".
approssimazione della circonferenza
Proviamo ad esempio a calcolare la circonferenza come approssimazione utilizzando un quadrato circoscritto ed un esagono inscritto. Osserviamo che il lato del quadrato equivale al diametro della circonferenza e quindi, detto r il raggio della circonferenza, il perimetro del quadrato sarà$$P(quadrato)=4\cdot(2r)=8r$$ Osserviamo adesso l'esagono inscritto; i lati sono corde uguali sottese ad archi uguali quindi esso divide la circonferenza in 6 archi congruenti. Unendo ogni vertice dell'esagono con il centro O della circonferenza otteniamo sei triangoli inoltre la somma degli angoli in O dei vari triangoli è un angolo giro; essendo essi angoli al centro insistenti su archi congruenti, saranno uguali e quindi di valore pari a \( \frac{\textrm{angolo giro}}{6}=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ} \). Ogni triangolo è isoscele avendo i lati obliqui congruenti perché raggi di una circonferenza e quindi i suoi angoli alla base sono congruenti; detto α il valore di uno di essi e sfruttando la somma degli angoli interni al triangolo si ha $$ 180^{\circ}=60^{\circ}+2\alpha \\2\alpha=120^{\circ} \rightarrow \alpha=60^{\circ}$$ Ogni triangolo ha quindi i tre angoli congruenti e quindi è equilatero ed avrà anche i tre lati congruenti cioè la base, che equivale al lato dell'esagono, vale quanto il raggio della circonferenza. Quindi il perimetro dell'esagono lo possiamo scrivere$$P(esagono)=6r$$Si avrà allora che la circonferenza ha un valore compreso tra 6r ed 8r ; cercando il coefficiente di proporzionalità con il doppio del raggio scriviamo la lunghezza della circonferenza come \( k\cdot 2r \) ed otteniamo$$6r < k\cdot2r < 8r$$dividendo per 2r ogni membro si ha $$3< k < 4$$Questo coefficiente è quindi è il nostro π ed è un numero compreso tra tre e quattro; aumentando il numero dei lati dei poligoni si arriva ad approssimazioni migliori di questo coefficiente.

N.B. Il valore numerico di π si utilizza solo nei calcoli elementari o in cui si chiede esplicitamente una approssimazione altrimenti si conviene di conservarlo in forma letterale finanche nel risultato di un eventuale problema.



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