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Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora
1Circonferenza e Cerchio Diamo prima la definizione di luogo geometrico: Si definisce luogo geometrico un insieme di punti legati da una proprietà comune

Ora definiamo la circonferenza come luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro
ed il cerchio come la parte di piano racchiusa in una circonferenza

Diamo adesso le definizioni di alcuni elementi legati alla circonferenza ed al cerchio :
  • Centro: è il punto fisso equidistante dai punti della circonferenza; lo indichiamo generalmente con la lettera O maiuscola.
  • Raggio: è il segmento che unisce il centro con un punto della circonferenza; lo indichiamo con la lettera r minuscola.
  • Corda: è il segmento che unisce due punti della circonferenza.
  • Diametro: è una particolare corda passante per il centro; lo indichiamo generalmente con la lettera d minuscola, esso vale il doppio del raggio e si può indicare anche come 2r.
  • Arco: è un tratto di circonferenza racchiuso tra due punti; lo si indica con gli estremi maiuscoli con sopra un tratto a forma di arco.
  • Semicirconferenza: è un particolare arco i cui estremi sono gli estremi di un diametro.
  • Settore circolare: è una porzione di cerchio racchisa tra due raggi e l'arco ad essi relativo; due punti della circonferenza individuano sempre due archi e quindi due settori circolari ma si considera sempre il più piccolo.
  • Semicerchio: è un particolare settore circolare i cui raggi sono adiacenti e quindi formano un diametro e il cui arco è una semicirconferenza.
  • Segmento circolare ad una base: è la porzione di cerchio racchiusa tra una corda e l'arco con gli stessi estremi; tra i due segmenti circolari si indica sempre il minore.
  • Segmento circolare a due basi: è la porzione di cerchio racchiusa tra due corde parallele.
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Vediamo adesso alcuni teoremi sulle corde.

Il diametro è la corda di lunghezza massima della circonferenza

Consideriamo una generica corda di estremi A e B; uniamo questi due estremi con il centro della circonferenza ed osserviamo il triangolo AOB. Come per tutti i triangoli valgono i teoremi sulle disuguaglianze ed in particolare che "la somma di due lati è sempre maggiore del terzo"; in questo caso otteniamo \( \overline{AO}+ \overline{OB} > \overline{AB} \). Osserviamo che i due lati \( \overline{AO} \) e \( \overline{OB} \) sono, per costruzione, raggi della circonferenza e quindi scriviamo \( r+r > \overline{AB} \) che equivale ad affermare che il diametro è maggiore di ogni corda che sia diversa da esso stesso; infatti considerando come corda il diametro non si formerebbe il triangolo e quindi non sarebbe applicabile il teorema sulla somma dei lati del triangolo. C.V.D.

L'asse di ogni corda è una retta contenente il diametro della circonferenza

Definiamo prima cosa è l'asse di un segmento:
si definisce asse di un segmento il luogo geometrico dei punti equidistanti da due punti fissi
Dimostriamo ora il teorema
Prendiamo una circonferenza di centro O e raggio r e consideriamo una corda AB; tracciamo l'asse del segmento \( \overline{AB} \) che individua sulla circonferenza due punti C e D. Dimostriamo che \( \overline{CD} \) è un diametro.
Per ipotesi la retta s è l'asse della corda, cioè il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi della corda; consideriamo i due raggi che uniscono il centro della circonferenza con gli estremi della corda. Essi, essendo uguali per la definizione di circonferenza, ci garantiscono l'appartenenza del centro della circonferenza all'asse della corda; quindi preso il centro O sull'asse della corda notiamo che i due segmenti \( \overline{CO} \) ed \( \overline{OD} \) sono raggi quindi \( \overline{CD} \), che è la loro somma, è un diametro. C.V.D.

La perpendicolare ad una corda dal centro della circonferenza incontra la corda nel punto medio e viceversa

Entrambe le dimostrazioni si basano sul fatto che i triangoli con base la corda e lati obliqui i raggi sono tutti isosceli. Consideriamo la perpendicolare alla corda passante per il centro della circonferenza; essa rappresenta proprio l'altezza del triangolo OAB, ma essendo il triangolo isoscele, sarà anche mediana dello stesso. Quindi il segmento OM incontra la corda \( \overline{AB} \) nel suo punto medio. C.V.D.

Consideriamo adesso il segmento \( \overline{OM} \) portato da AB al punto medio di \( \overline{AB} \); esso è per definizione la mediana del triangolo OAB ma quest'ultimo è isoscele quindi \( \overline{OM} \) è anche altezza del triangolo. Ciò ci garantisce che \( \overline{OM} \) è ortogonale ad \( \overline{AB} \). C.V.D.

Corde congruenti si trovano alla stessa distanza dal centro e viceversa

Dimostriamo prima che corde congruenti si trovano alla stessa distanza dal centro. Consideriamo i triangoli OND ed OMB in figura dove i lati \( \overline{ON} \) ed \( \overline{OM} \) sono gli assi delle due corde; essi sono congruenti per il primo criterio di uguaglianza dei triangoli rettangoli infatti:
sono palesemente triangoli rettangoli perché \( \overline{ON} \) ed \( \overline{OM} \) sono gli assi delle due corde;
\( \overline{OD} = \overline{OB} \) perché entrambi raggi;
\( \overline{ND} = \overline{MB} \) perchè metà esatte di corde congruenti ( l'asse del segmento incontra il segmento stesso nel suo punto medio, perchè quest'ultimo è equidistante dagli estremi ).
I due triangoli avranno in particolare \( \overline{ON} = \overline{OM} \) che rappresentano le distanze delle corde dal centro della circonferenza. C.V.D.


Dimostriamo adesso che corde equidistanti dal centro sono congruenti. Ancora una volta i due triangoli OND ed OMB hanno due congruenti e sono rettangoli, quindi, sono uguali ed in particolare hanno \( \overline{ND} = \overline{MB} \); questi due rappresentano le metà delle corde che di conseguenza saranno uguali. C.V.D.

Angoli al centro e angoli alla circonferenza

Si definisce angolo al centro quello che ha per lati due raggi e angolo alla circonferenza quello che ha per lati due corde con un estremo in comune.
In particolare si ha che
L'angolo al centro è uguale al doppio dell'angolo alla circonferenza insistente sullo stesso arco.
Dimostriamo che i due angoli \( \widehat{BOA} \) e \( \widehat{BCA} \) che insistono sullo stesso arco AB e quindi sulla stessa corda \( \overline{AB} \) sono il primo doppio dell'altro. Consideriamo il triangolo BCO in figura; quindi si ha \( \widehat{BCO}=\widehat{OBC} \). Notiamo adesso che l'angolo \( \widehat{BOD} \) è l'angolo esterno al triangolo COB relativo al vertice O e quindi esso è pari alla somma degli angoli interni al triangolo ad esso non adiacenti; cioè \( \widehat{BOD}= \widehat{BCO}+\widehat{OBC}= \)poiché questi ultimi sono uguali \( =2\cdot \widehat{BCO} \). Allo stesso modo considerando il triangolo isoscele CAO ed il suo angolo esterno \( \widehat{AOD} \) otteniamo \( \widehat{BOD} = 2\cdot \widehat{ACO} \) . Riscriviamo adesso l'angolo al centro come segue$$ \widehat{AOB} = \widehat{AOD} + \widehat{BOD} = 2\cdot \widehat{ACO} + 2\cdot \widehat{BCO}= 2\cdot ( \widehat{ACO} + \widehat{BCO} ) =2\cdot \widehat{ACB}$$ Come Volevasi Dimostrare

Da questo teorema si ricava anche che:
  • tutti gli angoli alla circonferenza insistenti sullo stesso arco sono congruenti
  • l'angolo che forma l'arco con la tangente nel suo estremo vale anche esso come quello alla circonferenza
  • ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo
    Dimostrazione
    Ovunque io prenda il punto P sulla semicirconferenza l'angolo \( \widehat{BPA} \) è sempre retto perché rappresenta un angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza e quindi il cui angolo al centro è piatto poiché i suoi lati stanno sullo stesso diametro. C.V.D.

Teorema sulla relazione tra archi ed angoli

In ogni circonferenza vi è proporzionalità diretta tra gli archi e gli angoli che su essi insistono
Cioè la relazione che intercorre tra due angoli è la stessa che intercorre tra i due archi sui quali gli angoli insistono.

Consideriamo di avere adesso una retta ed una circonferenza oppure due circonferenze, vogliamo studiare le possibili posizioni che possono assumere e le relazioni che intercorrono tra raggi e distanze. Osserviamo la figura
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