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Algebra

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Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Angoli interni al triangolo

La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre un angolo piatto

Consideriamo il triangolo ABC dove prolunghiamo tutti i lati ed in particolare chiamiamo s la retta prolungamento di \( \overline{AB} \); tracciamo inoltre la retta r parallela ad s e passante per il vertice C del triangolo. Consideriamo ora le rette r ed s tagliate dalla trasversale AC; esse formano tra l'altro gli angoli \( \widehat{CAB} \) ed α congruenti perché alterni interni. Considerando invece le rette r ed s tagliate dalla trasversale BC otteniamo che esse formano gli angoli \( \widehat{ABC} \) e β congruenti perché angoli corrispondenti. Osserviamo ora nel vertice C l'angolo piatto delimitato dalla retta prolungamento del lato \( \overline{BC} \); esso vale \( \alpha+\beta+\widehat{BCA} \) ma ricordando che \( \alpha=\widehat{CAB} \) e \( \beta=\widehat{ABC} \) otteniamo:
angolo piatto\( =\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{BCA} \) cioè la somma degli angoli interni di un triangolo vale un angolo piatto. C.V.D.

Osservando bene la figura precedente notiamo che:
in ogni triangolo l'angolo esterno relativo ad un vertice è congruente alla somma dei due angoli interni ad esso non adiacenti.


Possiamo adesso anche rivedere i criteri di congruenza dei triangoli, alla luce di questo teorema, quando sono applicati ai triangoli rettangoli :
  • Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno due lati congruenti.
  • Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un lato ed un angolo (non quello retto) congruenti; infatti visto che la somma degli angoli interni è un angolo piatto si mostra che anche i terzi angoli sono congruenti perché differenze di angoli congruenti ed otteniamo allora il secondo principio di congruenza.
Inoltre possiamo ricavare altre proprietà del triangolo isoscele : in ogni triangolo isoscele l'altezza relativa al terzo lato è anche bisettrice e mediana del triangolo.
Dimostriamo che preso un triangolo isoscele ABC con base \( \overline{BC} \) si ha che l'altezza relativa a \( \overline{BC} \) coincide con la mediana relativa allo stesso lato e con la bisettrice dell'angolo opposto. Tracciamo l'altezza relativa a \( \overline{BC} \) ed indichiamo con H il punto di incontro tra base ed altezza ( si chiama piede dell'altezza ). Consideriamo i due triangoli ABH e AHC; essi hanno:
\( \overline{AB}= \overline{AC} \) perchè lati obliqui di un triangolo isoscele;
\( \overline{AH} \) in comune;
\( \widehat{HAB}=\widehat{CAH} \) perché differenze di angoli uguali; infatti \( \widehat{HAB}= \textrm{angolo piatto}-\widehat{ABH}-\widehat{BHA}= \) ma gli angoli alla base del triangolo sono uguali per ipotesi mentre gli angoli formati dalla base con l'altezza sono uguali perché entrambi retti quindi \( = \textrm{angolo piatto}-\widehat{HCA}-\widehat{AHC}=\widehat{CAH} \).
Quindi i due triangoli sono uguali per il primo principio di congruenza dei triangoli ed in particolare hanno i lati \( \overline{BH} \) e \( \overline{HC} \) congruenti; allora il punto H divide il segmento \( \overline{BC} \) in due parti uguali e ne è quindi il punto medio. Osserviamo inoltre che abbiamo dimostrato l'uguaglianza tra i due angoli \( \widehat{HAB} \) e \( \widehat{CAH}= \) e che quindi l'altezza \( \overline{AH} \) divide l'angolo interno opposto alla base in due angoli uguali e ne è quindi la bisettrice. C.V.D.

Il triangolo equilatero è un particolare triangolo isoscele che ha però congruenti tutti i tre lati e tutti i tre angoli; questo ci permette di ripetere il ragionamento, appena fatto per la base del triangolo isoscele, rispetto a tutti e tre i suoi lati. Quindi diciamo che:in ogni triangolo equilatero l'altezza relativa ad ogni lato è anche mediana rispetto al lato stesso e bisettrice dell'angolo ad esso opposto.



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