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Geometria

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Zeri di una funzione


Si definisce zero di una funzione f , se esiste, quel numero reale \( x_0\) appartenente al dominio della funzione per il quale l'immagine è nulla cioè risulta \(f(x_0)=0\)

Trovare quindi gli zeri di una funzione equivale a risolvere l'equazione \(f(x)=0\) .
Dal punto di vista geometrico, invece, equivale a risolvere il sistema $$\left\{\begin{matrix}y=f(x) \\ y=0 \end{matrix}\right.$$e poiché \(y=0\) rappresenta l'equazione dell'asse delle ascisse questo sistema serve a determinare i punti di intersezione tra il grafico della funzione e l'asse delle x; in particolare gli zeri della funzione rappresentano le ascisse di tali punti mentre le ordinate sono ovviamente 0.


Consideriamo ad esempio la funzione di equazione \( y=x^2-4\) essa è una parabola con asse coincidente con l'asse delle ordinate, concavità verso l'alto e vertice nel punto \( (0;-3) \). Calcoliamo gli zeri di questa funzione risolvendo l'equazione $$x^2 -4=0$$ $$x^2=4$$ $$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$$Osserviamo adesso il grafico della funzione e notiamo che effettivamente essa tocca l'asse delle x nei punti di ascissa -2 e 2.
grafico della parabola y=x^{2} -4


Risoluzione grafica delle equazioni


Come abbiamo visto calcolare gli zeri di una funzione equivale a calcolare le soluzioni di una equazione il cui primo membro è rappresentato dall'espressione analitica della funzione stessa; non sempre però è semplice calcolare queste soluzioni. In questi casi si procede ad una risoluzione approssimata basata su metodi grafici che ci consentono di individuare un intervallo nel quale è racchiusa una soluzione; vedremo poi che questi intervalli si possono ridurre a piacere tramite alcuni metodi numerici in modo da ottenere una approssimazione sempre migliore della soluzione. Per ottenere l'intervallo iniziale possiamo ad esempio servirci di un elaboratore che tracci il grafico della funzione punto per punto per poi individuarlo in modo che sia abbastanza ampio da contenere la soluzione; un altro metodo è quello di portare una parte delle incognite a secondo membro in modo da ottenere una uguaglianza del tipo \( g(x)=h(x) \). A questo punto osserviamo che questa uguaglianza equivale al sistema$$\left\{\begin{matrix}y=g(x) \\ y=h(x) \end{matrix}\right.$$Ma un sistema di questo tipo rappresenta l'intersezione tra due curve di equazioni \( y=g(x) \) e \( y=h(x) \); possiamo allora tracciare i grafici delle singole funzioni e notare dove esse si incontrano (questi punti sono le soluzioni dell'equazione di partenza) al fine di trovare anche adesso un intervallo che di sicuro contenga una soluzione dell'equazione.


Consideriamo ad esempio la funzione di equazione \( y=x^3+x-1 \) di cui non sappiamo calcolare algebricamente gli zeri non essendo in grado di risolvere le equazioni di terzo grado non scomponibili. Operiamo allora graficamente; il primo metodo ci porta a disegnare punto per punto la funzione, cosa che però affidiamo ad un calcolatore (presto sarà possibile anche su questo sito in una apposita sezione). Il computer ci restituirà un grafico di questo tipo dove abbiamo evidenziato un intervallo abbastanza ampio da garantirci che al suo interno sia racchiuso uno zero della funzione. Questo è il grafico della funzione:
grafico della funzione y=x^{3} +x-1

Il nostro intervallo da considerare come prima approssimazione sarà tra 0 e 1 cioè [0;1]


Il secondo metodo consiste come abbiamo detto nel dividere sui due membri l'equazione e considerarla come intersezione tra due grafici di funzioni più semplici; in questo caso ad esempio possiamo portare il binomio (x-1) al secondo membro ottenendo$$x^3=1-x$$Consideriamo adesso le due funzioni di equazioni \(y=x^3 \ \ e \ \ y=1-x\) e tracciamo i loro grafici su uno stesso piano cartesiano ottenendo
grafico intersezione di funzioni

Come vediamo i due grafici si incontrano in un punto che ha la stessa ascissa osservata col metodo precedente (come ci aspettavamo); possiamo anche adesso scegliere come intervallo di sicurezza quello [0;1] all'interno del quale si trova di sicuro la soluzione (grazie al grafico più accurato avremmo potuto scegliere un intervallo anche più piccolo). Nelle prossime pagine vedremo i metodi per approssimare sempre meglio questa soluzione.




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