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Algebra

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Analisi

Definizione di Relazione Definizione di Funzione

Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Introduzione al concetto di relazione


Si definisce prodotto cartesiano, tra due insiemi A e B, l'insieme costituito da tutte le coppie ordinate che si ottengono prendendo come primo elemento della coppia un elemento di A e come secondo elemento un elemento di B; il prodotto si indica come$$A\times B=\left \{ (a;b)| a\in A \textrm{ e } b\in B \right \}$$dove il simbolo | si legge "tale che" mentre il simbolo \( \in \) si legge "appartenente a". Abbiamo quindi scritto che il prodotto \( A\times B \) è formato dalle coppie (a;b) tali che a appartiene all'insieme A e b appartiene all'insieme B. Consideriamo ad esempio i due insiemi A={a, b, c } e B={ \( \alpha , \beta , \chi \)} ed osserviamo la rappresentazione grafica del loro prodotto cartesiano; in particolare osserviamo la rappresentazione sagittale e quella cartesiana:

rappresentazione sagittale
Ogni elemento del primo insieme è collegato ad ogni elemento del secondo con una freccia in modo che gli estremi di ogni freccia rappresentino gli elementi di ogni coppia del prodotto stesso.

rappresentazione cartesiana
I due insiemi sono riportati su due assi ortogonali (il primo fattore sull'asse orizzontale ed il secondo su quello verticale) e per ogni elemento è tracciata una linea perpendicolare al proprio asse. In questo modo i punti di incontro tra queste linee rappresentano le coppie di elementi del prodotto cartesiano tra gli insiemi. Possiamo affermare che in questa rappresentazione ad ogni coppia del prodotto è associata una posizione nel piano.

Notiamo che:
  • il prodotto cartesiano tra due insiemi di cui uno è l'insieme vuoto è un insieme vuoto; infatti non è possibile formare nessuna coppia dato che uno degli insiemi fattori non ha elementi.
  • se il prodotto cartesiano tra due insiemi è l'insieme vuoto allora almeno uno dei due insiemi fattori è vuoto.
  • Il prodotto cartesiano tra un insieme A di n elementi ed un insieme B di m elementi rappresenta un insieme di \( n\times m \) elementi.
Dati due insiemi A e B non vuoti, si definisce relazione tra A e B un sottoinsieme del prodotto cartesiano i cui elementi verificano una data proprietà.

Consideriamo ad esempio i due insiemi
A={1,2,3} e B={1,2} osserviamo che il prodotto cartesiano è$$A\times B=\left \{ (1;1),(1;2),(2;1),(2;2),(3;1)(3;2)\right \}$$ consideriamo adesso la proprietà "la somma di un elemento di A e di un elemento di B è un numero pari"; chiamiamo R l'insieme degli elementi del prodotto cartesiano che rispettano la proprietà descritta. Abbiamo allora che R è un sottoinsieme di \( A\times B \) e diremo che se la coppia (a;b) con a elemento di A e b elemento di B appartiene all'insieme R allora a è in relazione con b e scriveremo aRb. Diremo inoltre che a è la controimmagine di b mentre b rappresenta l'immagine di a;

l'insieme degli elementi di A che sono in relazione con almeno un elemento di B, cioè che hanno almeno una immagine in B, si chiama dominio della relazione

mentre

l'insieme degli elementi di B che sono immagini di almeno un elemento del dominio si chiama codominio della relazione.


Consideriamo adesso relazioni definite in un insieme cioè relazioni per cui gli insiemi A e B coincidono; vediamo le proprietà di cui possono godere queste relazioni:
  • Proprietà riflessiva; una relazione R in un insieme A gode della proprietà riflessiva quando ogni elemento appartenente ad A è in relazione con se stesso.
    La rappresentazione cartesiana di questa relazione contiene la diagonale del quadrato costituito dagli elementi del prodotto cartesiano.
    Consideriamo l'insieme {1,2,3} e la relazione R "essere divisore di"; rappresentiamo il prodotto cartesiano \( A\times A \) ed evidenziamo le coppie del prodotto che appartengono ad R.
    Una relazione dell'insieme A che gode della proprietà riflessiva include gli elementi della diagonale del quadrato formato dalla rappresentazione cartesiana del prodotto di A con se stesso.
  • Proprietà antiriflessiva; una relazione R in un insieme A gode della proprietà antiriflessiva quando nessun elemento appartenente ad A è in relazione con se stesso.
    La rappresentazione cartesiana di questa relazione è costituita da elementi che non appartengono diagonale del quadrato costituito dagli elementi del prodotto cartesiano. Ad esempio la relazione "perpendicolare a" nell'insieme delle rette del piano è una relazione antiriflessiva poiché nessuna retta è perpendicolare con se stessa.

  • Proprietà simmetrica; una relazione R in un insieme A gode della proprietà simmetrica quando se un elemento a è in relazione con un elemento b allora anche l'elemento b è in relazione con a.
    La rappresentazione cartesiana di questa relazione è costituita da coppie di punti simmetrici rispetto alla diagonale del quadrato. Nell'insieme delle rette dl piano la relazione di parallelismo è simmetrica infatti se la retta a è parallela alla retta b si ha che la retta b è parallela alla retta a.

  • Proprietà antisimmetrica; una relazione R in un insieme A gode della proprietà antisimmetrica se ogni volta che a è in relazione con b e b in relazione con a deve risultare a=b; cioè per due elementi distinti non può accadere che il primo è in relazione col secondo ed il secondo in relazione con il primo.
    Ad esempio la relazione di maggiore o uguale in un insieme numerico gode della proprietà antisimmetrica infatti presi due numeri a e b, se risulta a maggiore o uguale di b e b maggiore o uguale di a significa che a e b sono uguali

  • Proprietà transitiva; una relazione R in un insieme A gode della proprietà transitiva quando presi a,b e c appartenenti ad A se a è in relazione con b e b in relazione con c si ha che a è in relazione con c.
    Ad esempio nell'insieme delle rette la relazione di parallelismo gode della proprietà transitiva infatti se la retta a è parallela alla retta b e b è parallela a c si ha che anche a e c sono parallele.

Relazioni di equivalenza

Una relazione in un insieme A si dice di equivalenza se gode delle proprietà riflessiva,simmetrica e transitiva.

Questo tipo di relazione genera, nell'insieme in cui è definita, una suddivisione in sottoinsiemi costituiti da elementi tra loro equivalenti. Questi insiemi sono chiamati classi di equivalenza; esse hanno le seguenti caratteristiche:
  • sono insiemi non vuoti, disgiunti e formano una partizione dell'insieme di definizione.
    Disgiunti significa che non hanno tra loro nessun elemento in comune ma sono infinitamente vicine cioè "comunque prendiamo un valore positivo si possono sempre trovare due elementi di due classi diverse la cui distanza è minore di quel valore"; il fatto che formano una partizione significa che tutti e soli gli elementi dell'insieme di definizione della relazione sono inclusi nelle classi. Le classi di equivalenza sono quindi come tessere di un mosaico che non si sovrappongono, sono messe a contatto l'una con l'altra e coprono tutta l'area dell'opera.

  • possono essere rappresentate da un elemento qualsiasi della classe che viene detto rappresentante della classe.

  • appartengono all'insieme quoziente.
    Diventano cioè esse stesse elementi di un insieme chiamato insieme quoziente.Infatti la definizione di questo insieme è: "Data una relazione di equivalenza R definita sull'insieme A, si definisce insieme quoziente l'insieme che ha per elementi le classi di equivalenza di A rispetto alla relazione R.

Relazioni d'ordine

Si definiscono relazioni d'ordine in un insieme quelle che ci permettono di ordinare gli elementi dell'insieme stesso. Queste relazioni possono essere di ordine totale, quando la relazione coinvolge tutti gli elementi dell'insieme cioè quando comunque prendiamo due elementi a e b dell'insieme si ha aRb oppure bRa; se ciò non accade si parla di relazione di ordine parziale. Inoltre le relazioni d'ordine si distinguono in:
  • Relazioni d'ordine stretto; se la relazione gode delle proprietà antiriflessiva,antisimmetrica e transitiva.

  • Relazioni d'ordine largo; se la relazione gode delle proprietà riflessiva,antisimmetrica e transitiva.

Si può facilmente osservare che le relazioni "minore di" e "maggiore di" sono relazioni di ordine stretto infatti per la prima si ha: per nessun numero abbiamo che esso è minore di se stesso quindi vale la proprietà antiriflessiva; se a < b non può essere b < a quindi vale la proprietà antisimmetrica; infine se a < b e b < c si ha a < c quindi vale anche la proprietà transitiva C.V.D.. Si osservi allo stesso modo che le relazioni "multiplo di" e "divisore di" sono relazioni di ordine largo.



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