Nella versione per cellulare sono omessi esempi e formule troppo grandi per rendere possibile un caricamento veloce della pagina. Per la pagina completa visitaci da desktop o tablet.

Analisi

Definizione di Relazione Definizione di Funzione Funzioni matematiche Grafico di funzioni Crescenza e Decrescenza Zeri di una funzione Metodo di bisezione Metodo del punto unito

Metodo del punto unito


Il metodo del punto unito è un metodo di approssimazione delle soluzioni di una equazione; per poterlo applicare dobbiamo ricondurre la nostra equazione nella forma$$x=h(x)$$Questa particolare forma da anche il nome al metodo di approssimazione, infatti, si chiama punto unito relativo ad una funzione \(f(x)\) ogni soluzione dell'equazione \( x= f(x) \). Inoltre è necessario che scegliamo un intervallo in cui sia contenuta una sola soluzione affinché il metodo possa funzionare; per il resto il metodo è molto semplice: consideriamo un punto qualsiasi dell'intervallo scelto \( (x_0) \) e calcoliamo il valore \(x_1=h(x_0) \); proseguiamo adesso calcolando \(x_2=h(x_1) \) poi \(x_3=h(x_2) \) e così via per un certo numero di volte che dipenderà dal grado di approssimazione desiderato. A questo punto osserviamo i valori ottenuti; tre sono le situazioni che si possono presentare:

i valori \(x_0 , x_1 , x_2 ,......., x_n \) coincidono per un numero sempre maggiore di cifre, l'uno col precedente, all'aumentare di n e sono tutti valori compresi nell'intervallo
Cioè i valori tendono ad avvicinarsi con sempre maggiore accuratezza ad un numero k interno all'intervallo (convergono); facendo infinite ripetizioni otterremmo k come numero finale e questo rappresenta la soluzione dell'equazione. Nel caso di un numero finito di ripetizioni possiamo comunque affermare che le cifre a destra che coincidono, fino alla prima cifra diversa esclusa, tra due \( x_i \) consecutivi di sicuro sono cifre della soluzione.

ad esempio su 14 ripetizioni se si ha \(x_{13}=2,23514678 \ \ e \ \ x_{14}=2,23513458 \) la migliore approssimazione ottenuta sarà \(x_{soluzione}=2,2351\)

i valori \(x_0 , x_1 , x_2 ,......., x_n \) coincidono per un numero sempre maggiore di cifre, l'uno col precedente, all'aumentare di n ma almeno da un certo valore in poi gli stessi sono esterni all'intervallo
Questo significa che c'è una soluzione per l'equazione ma non è quella cercata; si potrebbe provare a manipolare l'equazione in modo da ottenere una forma sempre del tipo \( x=g(x) \) ma per la quale risulti \( g(x) \neq h(x) \) e riprovare i calcoli

ad esempio ad esempio per l'equazione \( x^3+x-1=0 \) sono due forme diverse$$x=1-x^3 \ \ e \ \ x=\sqrt[3]{1-x}$$dove la seconda è ottenuta esplicitando rispetto ad \( x^3 \)



i valori \(x_0 , x_1 , x_2 ,......., x_n \) non hanno alcun rapporto tra loro oppure se vi è una coincidenza tra due valori, essa scompare con i successivi
In questo caso non individuiamo alcuna soluzione con i nostri calcoli e possiamo solo provare, come per il caso precedente, a cambiare la forma dell'equazione.


Applichiamo questo metodo all'equazione delle pagine precedenti \( (x^3+x-1=0) \) per la quale avevamo individuato graficamente la presenza di una soluzione nell'intervallo [0;1]
Scriviamo l'equazione nella forma \( x=h(x) \). $$x=1-x^3$$ Scegliamo \( x_0 \) ad esempio uguale a 0,5 e calcoliamo i valori \( x_1, x_2, x_3,x_4 \)

\(x_1=h(x_0)=h(0,5)=1-(0,5)^3=0,875\)
\(x_2=h(x_1)=h(0,875)=1-(0,875)^3=-0,330078125\)
\(x_3=h(x_2)=h(0,330078125)=1-(0,330078125)^3=0,9640374705195427\)
Ci possiamo pure fermare perché come si nota non vi è alcuna relazione tra due valori consecutivi oscillando essi tra numeri molto diversi; proviamo a cambiare forma all'equazione. Utilizziamo quella vista nel secondo caso cioè \(x=\sqrt[3]{1-x}\) e come prima calcoliamo i valori di \( x_1 , x_2, .....\)

\(x_1=\sqrt[3]{1-x_0}=\sqrt[3]{1-0,5}=0.793700........\)
\(x_2=\sqrt[3]{1-x_1}=\sqrt[3]{1-0.793700.......}=0.590880.........\)
\(x_3=\sqrt[3]{1-x_2}=0.742363.........\)
\(x_4=\sqrt[3]{1-x_3}=0.636310........\)
\(x_5=\sqrt[3]{1-x_4}=0.713800.......\)
\(x_6=\sqrt[3]{1-x_5}=0.659006........\)
\(x_7=\sqrt[3]{1-x_6}=0.698632.......\)
\(x_7=\sqrt[3]{1-x_6}=0.670448........\)
\(x_8=\sqrt[3]{1-x_7}=0.690729........\)
\(x_9=\sqrt[3]{1-x_8}=0.676258........\)
\(x_{10}=0.686645.........\)
\( x_{11}=0.679222........\)
\( x_{12}=0.684544........\)
\( x_{13}=0.680737........\)
\( x_{14}=0.683464.........\)
\( x_{15}=0.681512.........\)
\( x_{16}=0.682910.........\)
\( x_{17}=0.681910.........\)
\( x_{18}=0.682626........\)
\( x_{19}=0.682113.........\)
\( x_{20}=0.682481.........\)
.....
.....
Possiamo quindi dire con certezza che la soluzione cercata è \( 0,682..........\) dove abbiamo indicato solo le cifre certe; il nostro risultato è in accordo con il metodo dicotomico per il quale ci eravamo però fermati alla determinazione della prima cifra decimale.





Hai trovato utile questa pagina?

Clicca +1 per consigliarla tra le ricerche di google

Oppure condividi la stessa sui tuoi social network preferiti


Privacy Policy

Indirizzo e-mail

teoremadi@altervista.org

Torna
su

I contenuti di questo sito possono essere copiati e riprodotti a patto di indicarne espressamente la provenienza.
Copyright © 2015 Teoremadi.altervista.org di Zitiello Giuseppe. Tutti i diritti riservati.