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Algebra

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Analisi

Definizione di Relazione Definizione di Funzione

Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Metodo di bisezione o dicotomico


Il metodo dicotomico rappresenta una procedura matematica che ci consente di migliorare l'approssimazione delle soluzioni, di una equazione, ottenute per via grafica; cioè di ridurre sempre più l'intervallo (vedi lezione precedente) che racchiude la soluzione. Questo metodo si basa su un concetto abbastanza intuitivo e cioè che: se un grafico è costituito da un tratto di linea continua (senza interruzioni) in un intervallo e agli estremi dell'intervallo stesso si trova dai due lati opposti dell'asse x, allora almeno in un punto questo grafico deve attraversare l'asse. Osserviamo che se negli estremi il grafico si trova da parti diverse dell'asse delle ascisse significa che le ordinate dei punti hanno segno opposto quindi i valori della funzione calcolati negli estremi hanno segni opposti. Possiamo quindi concludere dicendo che ogni qualvolta una funzione ha un grafico continuo in un intervallo chiuso [a;b] ed i suoi valori agli estremi sono di segno opposto, l'intervallo contiene sicuramente uno zero della funzione cioè una soluzione dell'equazione.

Il procedimento matematico è piuttosto semplice; descriviamolo passo per passo.
Consideriamo una funzione di equazione \( y=f(x) \) e supponiamo di aver individuato graficamente un intervallo [a;b] in cui è contenuta una soluzione; risulterà allora \( f(a)\cdot f(b) \lt 0 \) visto che i valori agli estremi sono di segno opposto. Calcoliamo il punto medio \(m_1\) dell'intervallo [a;b] : $$m_1=\frac{a+b}{2}$$Adesso dobbiamo calcolare il valore della funzione in questo punto cioè \( f(m_1) \); se il valore ottenuto fosse zero avremmo trovato la nostra soluzione. Se la funzione non si annulla in questo punto dobbiamo considerare i due intervalli \( [a;m_1] \ e \ [m_1;b] \) e vedere per quale di essi la funzione assume segno opposto agli estremi (questo può accadere per uno solo di essi); scartiamo allora l'altro intervallo e ripetiamo il processo su questo perché è quello che di sicuro contiene la soluzione. Supponiamo sia l'intervallo \( [a;m_1] \); calcoliamo allora il suo punto medio \(m_2\) ed otteniamo $$m_2=\frac{a+m_1}{2}$$calcoliamo \( f(m_2) \) se è zero ecco la soluzione, altrimenti di nuovo scegliamo l'intervallo tra \( [a;m_2] \ e \ [m_2;m_1] \) per il quale la funzione assume segni opposti agli estremi e proseguiamo.
Possiamo continuare con questo procedimento finché non troviamo che \(f(m_n)=0\) oppure finché non raggiungiamo il grado di approssimazione che ci interessa; infatti ad ogni passo l'approssimazione è migliore. Per scegliere le cifre che sicuramente compongono la soluzione dobbiamo confrontare passo passo i valori degli estremi dell'intervallo, ad esempio se dopo un certo numero di ripetizioni ci troviamo difronte ad un intervallo i cui estremi coincidono fino alla terza cifra decimale, possiamo essere certi che abbiamo ottenuto una approssimazione della soluzione fino alla terza cifra decimale.


Consideriamo ad esempio la funzione di equazione \( y=x^3+x-1 \) vista nella pagina precedente e per la quale avevamo già individuato un intervallo in cui si trova la soluzione; riproponiamo il grafico.
grafico della funzione y=x^{3} +x-1

L'intervallo che vogliamo considerare è allora [0;1] ; per prima cosa calcoliamo i valori della funzione negli estremi: \(f(0)=0^3+0-1=-1\)

\(f(1)=1^3+1-1=1\)

Calcoliamo il punto medio dell'intervallo ed il valore della funzione in esso $$m_1=\frac{0+1}{2}=0.5 \ \ e \ \ f(0.5)=0.125+0,5-1=-0.375$$ il valore della funzione nel punto medio è negativo e quindi, dovendo scegliere un intervallo ai cui estremi la funzione assume segni opposti, consideriamo l'intervallo [0.5;1]; calcoliamo di nuovo il punto medio ed il valore in esso della funzione $$m_2=\frac{0.5+1}{2}=0.75 \ \ e \ \ f(0.75)=0.421875+0.75-1=0.171875$$ il valore della funzione nel punto medio è positivo e quindi scegliamo l'intervallo [0.5;0.75] ;come prima si ha $$m_3=\frac{0.5+0.75}{2}=0.625 \ \ e \ \ f(0.625)=0.244140625+0.625-1=-0.130859375$$ il valore della funzione nel punto medio è negativo e quindi scegliamo l'intervallo [0.625;0.75];come prima si ha $$m_4=\frac{0.625+0.75}{2}=0.6875 \ \ e \ \ f(0.6875)=0.324951171875+0.6875-1=0.012451171875$$ il valore della funzione nel punto medio è positivo e quindi scegliamo l'intervallo [0.625;0.6875] ;come prima si ha $$m_5=\frac{0.625+0.6875}{2}=0.65625 \ \ e \ \ f(0.65625)=0.282623291015625+0.65625-1=-0.061126708984375$$ il valore della funzione nel punto medio è negativo e quindi scegliamo l'intervallo [0.65625;0.6875]; potremmo continuare ma come esempio può bastare per comprendere il procedimento. A questo punto osserviamo allora che lo zero della funzione si trova in un punto di ascissa \(x_0\) compresa tra gli estremi dell'intervallo ultimo ricavato cioè$$ 0.65625 \lt x \lt 0.6875$$ e sappiamo che di sicuro la sua prima cifra decimale è 6.




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