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Geometria

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Grafico di una funzione


Dato un piano cartesiano ortogonale ed una funzione matematica di equazione \( y=f(x) \), si definisce grafico o diagramma della funzione l'insieme dei punti del piano che hanno per ascisse i valori della variabile indipendente appartenenti al dominio della funzione e per ordinate i rispettivi valori della variabile dipendente.

Possiamo anche dare una definizione di grafico di una funzione come luogo geometrico:
Il grafico di una funzione è il luogo geometrico dei punti (x;y) del piano cartesiano che soddisfano la sua equazione

Ciò significa che un punto P(x;y) del piano per appartenere al grafico della funzione deve risultare \( y=f(x)\) dove la f è l'espressione analitica della funzione. Due funzioni con la stessa espressione analitica non hanno necessariamente lo stesso grafico; sarà così solo se anche i domini coincidono. Ad esempio osserviamo i grafici di due funzioni con la stessa espressione analitica (ad esempio \(y=2x\)) ma domini differenti (ad esempio consideriamo \(D=\mathbb{Z} \ e \ D_1=\mathbb{R}\)).
grafico di una funzione di dominio Z
grafico della retta y=2x

Osserviamo adesso che dal grafico possiamo dedurre molte caratteristiche delle funzioni. Ad esempio i grafici possono presentare delle simmetrie che, come vedremo in futuro, nascono da caratteristiche dell'espressione analitica della funzione stessa. In particolare chiameremo funzioni pari (figura 1) quelle funzioni il cui grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate mentre chiameremo funzioni dispari (figura 2) le funzioni il cui grafico è simmetrico rispetto all'origine. Quindi per le funzioni pari risulta che ad ascisse (variabili indipendenti) opposte corrispondono ordinate (variabili dipendenti) uguali cioè risulta \( f(-x)=f(x) \); per le funzioni dispari invece si ha che ad ascisse opposte corrispondono ordinate opposte. Ricaviamo allora la relazione, consideriamo la funzione dispari \(y=f(x)\) per la quale risulta \(-y=f(-x)\); cambiamo il segno alla seconda relazione ed otteniamo \( y=-f(-)\) e dall'uguaglianza dei primi membri tra questa equazione e quella generica della funzione otteniamo l'equazione $$f(x)=-f(-x)$$Questa è la relazione rispettata da una funzione dispari.
grafico di una funzione pari
grafico di una funzione dispari

Una menzione particolare tra le funzioni con grafici particolari sono le funzioni periodiche:

data una funzione di equazione \( y=f(x) \) ed un valore \( T\gt0 \) diremo che la funzione è periodica di periodo T se comunque prendiamo un numero relativo k risulta $$f(x)=f(x+kt)$$
Il valore più piccolo della T per il quale vale questa relazione viene detto periodo principale o periodo minimo della funzione.


Osserviamo che anche il grafico di questa funzione è periodico, presenta cioè sempre lo stesso pezzo di grafico ripetuto continuamente. Consideriamo ad esempio la funzione $$y=\left\{\begin{matrix} x \ per \ 0\leq x <1 \\ x-1 \ per \ 1 \leq x < 2 \\ x-2 \ per 2 \leq x < 3 \end{matrix}\right.$$ e così via cioè preso un numero relativo n si ha \(y=x-n per n\leq x < n+1 \).
Osserviamo il grafico di questa funzione:
grafico di una funzione periodica

essa mostra il ripetersi di segmenti sempre uguali; è infatti periodica di periodo 1 cioè il grafico totale si ottiene ripetendo quello compreso tra x=0 e x=1 .




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