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Algebra

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Analisi

Definizione di Relazione Definizione di Funzione

Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Funzioni Crescenti, Decrescenti e Monotone


Consideriamo per le successive definizioni una funzione di equazione \(y=f(x)\) di dominio \(D\subseteq \mathbb{R}\) ed un intervallo \(I\subseteq D\).

Funzioni crescenti

Una funzione di equazione \(y=f(x)\) si definisce crescente in senso lato, o debolmente crescente o non decrescente nell'intervallo I se comunque prendiamo due valori \(x_1 \in I \ e \ x_2 \in I \) della variabile indipendente per i quali risulti \(x_1 \lt x_2 \) deve risultare \( f(x_1) \leq f(x_2) \); in formule$$\vee \ x_1,x_2\in I \ : \ x_1\lt x_2 \ \Rightarrow \ f(x_1) \leq f(x_2) $$
grafico di una funzione debolmente crescente

Una funzione di equazione \(y=f(x)\) si definisce crescente in senso stretto o strettamente crescente nell'intervallo I se comunque prendiamo due valori \(x_1 \in I \ e \ x_2 \in I \) della variabile indipendente per i quali risulti \(x_1 \lt x_2 \) deve risultare \( f(x_1) \lt f(x_2) \); in formule$$\vee \ x_1,x_2\in I \ : \ x_1\lt x_2 \ \Rightarrow \ f(x_1) \lt f(x_2) $$
grafico di una funzione strettamente crescente
Notiamo quindi che, mentre una funzione debolmente crescente può per certi tratti anche essere costante, quella crescente in senso stretta non può avere due valori della x che hanno la stessa y; diciamo inoltre che generalmente ogni qualvolta si parla di funzione crescente ci si riferisce ad una funzione strettamente crescente.

Funzioni decrescenti

Una funzione di equazione \(y=f(x)\) si definisce decrescente in senso lato, o debolmente decrescente o non crescente nell'intervallo I se comunque prendiamo due valori \(x_1 \in I \ e \ x_2 \in I \) della variabile indipendente per i quali risulti \(x_1 \lt x_2 \) deve risultare \( f(x_1) \geq f(x_2) \); in formule$$\vee \ x_1,x_2\in I \ : \ x_1\lt x_2 \ \Rightarrow \ f(x_1) \geq f(x_2) $$
grafico di una funzione debolmente decrescente

Una funzione di equazione \(y=f(x)\) si definisce decrescente in senso stretto o strettamente decrescente nell'intervallo I se comunque prendiamo due valori \(x_1 \in I \ e \ x_2 \in I \) della variabile indipendente per i quali risulti \(x_1 \lt x_2 \) deve risultare \( f(x_1) \gt f(x_2) \); in formule$$\vee \ x_1,x_2\in I \ : \ x_1\lt x_2 \ \Rightarrow \ f(x_1) \gt f(x_2) $$
grafico di una funzione strettamente crescente
Ancora una volta quando parleremo di una funzione decrescente, senza specificare altro, ci riferiremo ad una funzione strettamente decrescente.

In generale definiamo una funzione che sia sempre crescente (in senso lato o stretto) o sempre decrescente (in senso lato o stretto) in un intervallo I Monotona nell'intervallo; parleremo quindi di monotonia in senso lato o debole e monotonia in senso stretto a seconda del tipo di crescenza o decrescenza che caratterizza la funzione.
Con la dicitura di funzione monotona indicheremo sempre una funzione strettamente monotona; infine diremo che una funzione e sempre crescente o sempre decrescente se è monotona in tutto il suo dominio.

Osservazione

Una funzione monotona in un intervallo è biunivoca e quindi invertibile nell'intervallo stesso

Ricordiamo che una funzione biunivoca deve essere sia iniettiva che suriettiva. E sicuramente suriettiva perché lo è ogni funzione nel suo codominio essendo esso formato da tutte e sole le immagini degli elementi del dominio; vediamo allora che una funzione monotona è iniettiva:
supponiamo la funzione sia monotona crescente cioè che $$\vee \ x_1,x_2\in I \ : \ x_1\lt x_2 \ \Rightarrow \ f(x_1) \lt f(x_2) $$o analogamente $$\vee \ x_1,x_2\in I \ : \ x_1\gt x_2 \ \Rightarrow \ f(x_1) \gt f(x_2) $$ quindi a due x diverse (che possono essere la prima maggiore della seconda o veceversa) corrisponderanno due y diverse (la prima maggiore della seconda o viceversa). La funzione è quindi iniettiva e di conseguenza biunivoca ed invertibile.

N.B. Una funzione biunivoca non è per forza monotona
Ad esempio la funzione seguente è biunivoca ma non monotona nell'intervallo I.
grafico di una funzione biunivoca non monotona



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