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Algebra

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Funzioni matematiche


Data una funzione \( f: A\rightarrow B \) dove A e B sono rispettivamente dominio e codominio della funzione, diremo che f rappresenta una funzione numerica se gli insiemi A e B sono numerici; cioè se essa trasforma un numero in un altro numero.

Se la funzione f è costituita dall'insieme o dalla combinazione di operazioni matematiche diremo che la f è una funzione matematica.


In generale ci occuperemo sempre di funzioni matematiche. Diamo adesso per queste funzioni una definizione specifica:
Date due variabili reali x ed y diremo che y è funzione reale di x in un dominio D \( (D\subseteq \mathbb{R})\) se esiste una legge f che ad ogni \(x \in D\) fa corrispondere uno ed un solo valore della variabile y

Si scrive in questo caso:$$y=f(x)$$Questa forma rappresenta l'equazione della funzione mentre la \( f(x) \) da sola rappresenta l'espressione analitica della funzione stessa; le due variabili vengono chiamate rispettivamente variabile indipendente (x), perché può assumere qualsiasi valore del dominio, e variabile dipendente (y), perché il suo valore dipende dal valore assunto dalla x.

Per una funzione matematica si ha che il dominio è costituito da tutti i valori reali che può assumere la variabile indipendente e che restituiscono un valore reale della variabile dipendente; poiché la funzione è costituita da operazioni matematiche ricaviamo che il dominio è costituito dai valori per i quali le operazioni matematiche coinvolte sono tutte definite.


Calcoliamo il dominio delle seguenti funzioni:

\( I) \ y=4x^2+1 \ \ \ II) \ y= \frac{3x}{x+2} \ \ \ III) \ y= \sqrt[3]{x} \ \ \ IV) \ y= \sqrt{x+5} \)
Calcoliamoli separatamente:

I) Sappiamo che l'elevazione a potenza è sempre definita e tanto più lo è la somma quindi, essendo le due operazioni coinvolte nella funzione sempre definite, il dominio D della funzione è tutto l'insieme dei numeri reali cioè \(D=\mathbb{R} \).

II) In questo caso abbiamo come operazione anche quella di frazione; sappiamo che essa è definita sempre tranne quando il denominatore si annulla. Dobbiamo allora imporre che il denominatore non si annulli ponendo \(x+2\neq0 \) cioè \( x\neq -2\); la frazione e quindi anche la funzione è definita per tutte le x appartenenti ad \(\mathbb{R}\) tranne il valore -2. Il dominio D lo indicheremo come \(D=\mathbb{R}-{-2}\).

III) Abbiamo adesso una radice cubica che noi sappiamo essere definita per ogni valore del suo radicando, come ogni radice ad indice dispari, quindi il dominio è tutto l'insieme dei numeri reali.

IV) La radice quadrata è definita solo quando il radicando è maggiore o uguale a zero e quindi dobbiamo porre $$x+5 \geq0 \ \rightarrow \ x\geq-5$$ Il dominio è costituito da tutte i numeri maggiori o uguali a -5 e lo possiamo indicare indistintamente con la notazione$$D={x\in \mathbb{R} : x\geq-5}$$ oppure con la notazione$$D=[-5; + \infty)$$ricorsando che la parentesi quadra sta ad indicare che il punto di estremo -5 è incluso nell'insieme D.

Nel caso in cui l'espressione analitica della funzione fosse costituita da più operazione che non sono sempre definite, dovremmo porre le condizioni separatamente per ogni operazione e porre a sistema i risultati.

Osserviamo adesso che per una funzione matematica il codominio è l'insieme dei valori della variabile dipendente che si ottengono come risultato delle operazioni matematiche costituenti la funzione stessa. Possiamo allora sempre calcolare il codominio di una funzione se conosciamo l'equazione della funzione; basta considerare l'equazione \(y=f(x)\) come una equazione nella sola incognita x dove y rappresenta un parametro. Il codominio è dato da tutte le y che permettono di calcolare i valori delle x. Calcoliamo per esempio i codomini delle funzioni precedenti.


I) portiamo la x al primo membro e tutto il resto al secondo e cambiamo di segno ed otteniamo$$4x^2=y-1 \ \rightarrow \ x^2=\frac{y-1}{4}$$ Per calcolare la x dobbiamo applicare la radice quadrata a destra ed a sinistra; questo è possibile solo se i due membri sono entrambi positivi. Il primo membro è certamente positivo essendo un quadrato mentre il secondo dobbiamo imporre che lo sia cioè$$\frac{y-1}{4}\geq0$$Poiche il denominatore è un numero positivo possiamo eliminarlo senza dover cambiare il verso della disequazione e quindi otteniamo $$y-1\geq0 \ \rightarrow \ y\geq 1$$Quindi il codominio della funzione è dato dalle y maggiori o uguali ad 1; lo indichiamo con la lettera C e scriviamo \( C= [1;+ \infty) \)

II) Riscriviamo l'equazione$$y= \frac{3x}{x+2} \ \rightarrow \ (x+2)y=3x$$ $$xy-3x=-2y \ \rightarrow \ (y-3)x=-2y$$Per calcolare il valore di x dobbiamo dividere per il binomio (y-3) e questo possiamo farlo a patto che esso sia diverso da zero quindi abbiamo la condizione su y $$y-3\neq0 \ \rightarrow \ y\neq3$$Il codominio della funzione sarà allora costituito da tutte le y meno l'elemento 3 e scriveremo $$C=\mathbb{R}-{3}$$
III) Riscriviamo l'equazione \( y= \sqrt[3]{x} \) e notiamo che per ottenere il valore della x dobbiamo elevare al cubo ambo i membri dell'equazione; ricordiamo che elevando ad una potenza dispari entrambi i membri di una equazione non introduciamo nessuna nuova soluzione e quindi per poterlo fare non dobbiamo porre alcuna condizione. Ciò significa che il codominio della funzione è tutto l'insieme dei numeri reali cioè \( C=\mathbb{R} \)

IV) Ci troviamo adesso difronte ad una equazione irrazionale con indice di radice 2 e quindi per elevare al quadrato e non introdurre altre soluzioni nell'equazione dobbiamo imporre che i due membri dell'equazione siano non negativi; il secondo membro non è mai negativo per la definizione stessa di radice mentre per il secondo deve risultare \( y\geq0 \). Questa posizione ci rivela che il codominio della funzione è dato da tutte le y positive cioè \( C=\mathbb{R}^+\).
Notiamo adesso che non sempre le funzioni matematiche hanno una espressione analitica semplice ma alcune volte essa può assumere forme diverse in vari intervalli del dominio; un caso classico è quello della funzione valore assoluto. Essa è scritta in modo compatto \( y =|x| \) ma in questa forma è inutilizzabile ed è per questo che ricordando la definizione di valore assoluto (il valore assoluto associa ad ogni numero il suo valore se è positivo mentre l'opposto del numero stesso se esso è negativo) riscriviamo la funzione come $$y=\left\{\begin{matrix} y=-x \ \textrm{ per } x < 0 \\ y=x \ \textrm{ per } x \geq 0 \end{matrix}\right.$$dove la funzione ha due espressioni diverse a sceonda che l'argomento del valore assoluto sia positivo o negativo.


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