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Analisi

Definizione di Relazione Definizione di Funzione

Funzioni


Dati due insiemi A e B definiamo funzione di A in B una relazione che associa ad ogni elemento di A un solo elemento di B.

L'insieme A viene detto dominio della funzione mentre il sottoinsieme di B i cui elementi sono immagini degli elementi di A viene detto codominio della funzione.
Quindi una relazione tra due insiemi A e B per essere una funzione deve garantire che tutti gli elementi di A devono avere una immagine in B e che uno stesso elemento di A non può avere più di una immagine.
Come vediamo dalla definizione l'insieme B può essere anche più grande dell'insieme delle immagini di A;

una funzione per la quale l'insieme B è costituito da tutte e sole le immagini di A si dice suriettiva.

Sempre dalla definizione vediamo che nulla vieta a due elementi diversi di A di avere la stessa immagine;

una funzione per la quale risulti che gli elementi di B sono immagini al più di un elemento di A, cioè che ad elementi distinti di A corrispondono immagini distinte in B, è detta iniettiva.

Una funzione che risulti sia iniettiva che suriettiva di definisce biettiva o biunivoca.


Per ogni funzione F biunivoca è possibile definire la funzione inversa che avrà per dominio il codominio F e per codominio il dominio di F.
Questo è possibile solo per le funzioni biettive perché:

- se la funzione F non fosse suriettiva, di sicuro la sua inversa non sarebbe una funzione perché avendo per dominio il codominio di F esisterebbe qualche elemento del suo dominio privo di immagine;

- se la F non fosse iniettiva, cioè due elementi del suo dominio avessero la stessa immagine, per l'inversa si avrebbe che un elemento del dominio dovrebbe avere più di una immagine ma questo è contro la definizione di funzione.

Diamo adesso la definizione di funzione composta:

Date due funzioni \( f:A \rightarrow B \textrm{ e } g:B \rightarrow C \), si chiama funzione composta \( g\circ f \) la funzione \( h:A \rightarrow C \) che si ottiene applicando prima la funzione f e dopo la funzione g; dove il simbolo \( \circ \) si legge "composto".


La composizione di funzioni gode della proprietà associativa mentre generalmente non vale la proprietà commutativa, cioè$$f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h=f\circ g\circ h \\ \textrm{ e } \\ f\circ g \neq g\circ f$$

Vediamo un esempio per il quale non vale la proprietà commutativa

Consideriamo, nell'insieme dei numeri razionali, le due funzioni \( f: x\in Q \rightarrow 2x\in Q \) che associa ad ogni elemento del dominio il suo doppio e \( g: x\in Q \rightarrow x+1\in Q \) che associa ad ogni elemento lo stesso aumentato di una unità; applichiamo una volta \( f\circ g \) ed un'altra \( g\circ f \) e constatiamo che danno due risultati diversi.

\( f\circ g=f(g(x))=f(x+1)=2\cdot(x+1)=2x+2 \)

\( g\circ f=g(f(x))=g(2x)=2x+1 \)

I due valori sono palesemente diversi e quindi non vale la proprietà commutativa. C.V.D.



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