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Algebra

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Geometria

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Sistemi di equazioni di secondo grado


Si definisce sistema di equazioni di secondo grado quello costituito da equazioni per le quali il prodotto dei loro gradi è 2

Consideriamo per semplicità i sistemi di due equazioni in due incognite tanto per quelli con più equazioni si opera allo stesso modo, concettualmente, aumentando solo la quantità dei calcoli; in particolare parliamo di sistemi costituiti da una equazione di primo grado ed un'altra di secondo grado. Per risolvere questi sistemi si procede come segue:

1) ricavare una incognita dall'equazione di primo grado;
2)sostituire l'espressione trovata nell'equazione di secondo grado in modo da ottenere una equazione di secondo grado ad una sola variabile;
3) trovare le radici, se esistono, dell'equazione ottenuta;
4) sostituire questi valori delle radici nell'equazione di primo grado per ricavare il valore dell'altra variabile corrispondente.

Un sistema di tre equazioni in tre incognite, ad esempio, può essere ricondotto ad un sistema di due equazioni in due incognite semplicemente ricavando una incognita in funzione delle altre da una equazione di primo grado e sostituendo l'espressione ottenuta nelle altre due equazioni che costituiranno un sistema di secondo grado di due equazioni in due incognite. Alla fine, risolto il sistema di due incognite, bisogna ricordare di sostituire ogni coppia di valori nell'equazione con la terza variabile per ottenerne il valore corrispondente.

Esempio

risolvere il sistema di secondo grado$$\left\{\begin{matrix}x+y=5 \\ x^2-2xy-y+5=0 \end{matrix}\right.$$ Ricaviamo la y dalla prima equazione e sostituiamo nella seconda ( abbiamo preferito ricavare la y perché nella seconda equazione è presente solo al primo grado, ma la scelta è totalmente indifferente al fine della soluzione )$$\left\{\begin{matrix}y=5-x \\ x^2-2x(5-x)-&(5-x)+1=0 \end{matrix}\right.$$Risolviamo adesso la seconda equazione:
\( x^2-2x(5-x)-(5-x)+1=0 \)
\( x^2-10x+2x^2-5+x+5=0 \)
\( 3x^2-9x=0 \)
\( 3x(x-3)=0 \) per la regola dell'annullamento del prodotto ricaviamo le due soluzioni e sostituiamo ognuna di esse nell'altra equazione per cercare il valore corrispondente

\( x=0 \rightarrow y=5-0=5 \rightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 \\ y=5 \end{matrix}\right. \)

\( x=3 \rightarrow y=5-3=2 \rightarrow \left\{\begin{matrix} x=3 \\ y=2 \end{matrix}\right. \)

Esempio

risolvere il sistema di secondo grado$$\left\{\begin{matrix} x-y-z-2=0 \\ 2x+y-z=0 \\ x+y^2+xz+y-z^2+z=0 \end{matrix}\right.$$dalla prima equazione ricaviamo x e sostituiamola nelle altre due$$\left\{\begin{matrix} x=y+z+2 \\ 2(y+z+2)+y-z=0 \\ (y+z+2)+y^2+(y+z+2)z&+y-z^2+z=0 \end{matrix}\right.$$le ultime due rappresentano un sistema di due equazioni in due incognite del secondo grado$$\left\{\begin{matrix} 2y+2z+4+y-z=0 \\ y+z+2+y^2+yz+z^2+2z&+y-z^2+z=0 \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} z+3y+4=0 \\ y^2+yz+2y+4z+2=0 \end{matrix}\right.$$ricaviamo z dalla prima e sostituiamola nella seconda$$\left\{\begin{matrix} z=-4-3y\\ y^2+y(-4-3y)+2y&+4(-4-3y)+2=0 \end{matrix}\right.$$di questo sistema risolviamo la seconda equazione
\( y^2-4y-3y^2+2y-16-12y+2=0 \)
\( -2y^2-14y-14=0 \)
\( y^2+7y+7=0 \)
\( y_1=\frac{-7-\sqrt{49-28}}{2}=\frac{-7-\sqrt{21}}{2} \)
\( y_2=\frac{-7+\sqrt{49-28}}{2}=\frac{-7+\sqrt{21}}{2} \)
Per ogni y soluzione ricaviamo il rispettivo valore di z e di x

- per \( y_1 \) si ha
\( z_1=-4-3\cdot\frac{-7-\sqrt{21}}{2}=\frac{-8+21+3\sqrt{21}}{2}=\frac{13+3\sqrt{21}}{2} \)
\( x_1=\frac{-7-\sqrt{21}}{2}+\frac{13+3\sqrt{21}}{2}+2=\frac{-7-\sqrt{21}+13+3\sqrt{21}+4}{2}=\frac{10+2\sqrt{21}}{2}=5+\sqrt{21} \)

- per \( y_2 \) si ha
\( z_2=-4-3\cdot\frac{-7+\sqrt{21}}{2}=\frac{-8+21-3\sqrt{21}}{2}=\frac{13-3\sqrt{21}}{2} \)
\( x_2=\frac{-7+\sqrt{21}}{2}+\frac{13-3\sqrt{21}}{2}+2=\frac{-7+\sqrt{21}+13-3\sqrt{21}+4}{2}=\frac{10-2\sqrt{21}}{2}=5-\sqrt{21} \)

Le due soluzioni, quindi, sono$$ \left\{\begin{matrix}x_1=5+\sqrt{21} \\ y_1=\frac{-7-\sqrt{21}}{2} \\ z_1=\frac{13+3\sqrt{21}}{2} \end{matrix}\right. \textrm{ e } \left\{\begin{matrix} x_2=5-\sqrt{21} \\ y_2=\frac{-7+\sqrt{21}}{2} \\ z_2=\frac{13-3\sqrt{21}}{2} \end{matrix}\right.$$



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