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Algebra

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Risoluzione per sostituzione

Questo metodo si basa sul terzo principio di equivalenza dei sistemi di equazioni; quest'ultimo ci consente di ricavare una variabile, in funzione delle altre, da una equazione e sostituire il valore ottenuto nelle altre.
Supponiamo di avere allora un sistema di tre equazioni in tre incognite; inizieremo col ricavare una incognita da una equazione e sostituire il valore nelle altre due. Queste diverranno equazioni in due sole incognite; possiamo ora ricavare un'altra incognita da una di esse e sostituire il valore nell'altra ottenendo una equazione in una sola incognita. Risolviamo l'equazione ottenuta e sostituiamo il valore numerico della soluzione nelle restanti equazioni che diverranno rispettivamente equazioni di due incognite e di una incognita. Risolviamo la seconda e sostituiamo nella prima che diverrą ad una incognita; risolta la prima abbiamo risolto il sistema avendo trovato i valori di tutte le incognite.


Vediamo un esempio esplicativo; consideriamo un sistema di tre equazioni nelle tre incognite x, y e z.$$\left\{\begin{matrix} x-2y+z=1 \\ x-y+2z=2 \\ 2x-2y-2z=0 \end{matrix}\right.$$Dalla prima equazione ricaviamo la x e sostituiamo nelle restanti due$$\left\{\begin{matrix} x=1+2y-z \\ (1+2y-z)-y+2z=2 \\ 2(1+2y-z)-2y-2z=0 \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} x=1+2y-z \\ y+z=1 \\ 2y-4z=-2 \end{matrix}\right. $$Dalla seconda ricaviamo la y e sostituiamo nella terza$$\left\{\begin{matrix} x=1+2y-z \\ y=1-z \\ 2(1-z)-4z=-2 \end{matrix}\right.$$Svolgiamo i calcoli e ricaviamo il valore di z$$\left\{\begin{matrix} x=1+2y-z \\ y=1-z \\ 6z=4 \rightarrow & z=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.$$Sostituiamo questo valore nella seconda e ricaviamo la variabile y$$\left\{\begin{matrix} x=1+2y-z \\ y=1-\frac{2}{3} \rightarrow & y=\frac{1}{3} \\z=\frac{2} {3}\end{matrix}\right.$$Sosituiamo i valori di y e z nella prima e calcoliamo il valore di x$$\left\{\begin{matrix} x=1+2\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \rightarrow x=1 \\ y=\frac{1}{3} \\z=\frac{2} {3}\end{matrix}\right.$$Abbiamo risolto il sistema trovando i valori delle incognite che rendono simultaneamente le tre equazioni, tre identitą.


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