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Algebra

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Metodo di riduzione

Questo metodo si basa sul secondo principio di equivalenza dei sistemi; cioè sul fatto che possiamo sempre sostituire una equazione di un sistema con la somma di essa stessa con un'altra equazione dello stesso sistema.
Operiamo allora come segue: manipoliamo una o più equazioni finché nel sistema vi siano due equazioni che abbiano i coefficienti di una variabile uguali ed opposti; a questo punto sommiamo le due equazioni e sostituiamo nel sistema una delle due con l'equazione somma. Si otterrà così una equazione che ha una incognita in meno delle altre; questo metodo ci permette allora di ottenere date due equazioni una equazione più semplice e quindi ci consente di semplificare le operazioni di calcolo delle soluzioni.


Vediamo un esempio; consideriamo il sistema $$\left\{\begin{matrix} x-2y+z=1 \\ x-y+2z=2 \\ 2x-2y-2z=0 \end{matrix}\right.$$Moltiplichiamo per il coefficiente -1 la prima equazione e sommiamola alla seconda$$\begin{matrix} -1\cdot\\ \ \\ \ \end{matrix} \left\{\begin{matrix} x-2y+z=1 \\ x-y+2z=2 \\ 2x-2y-2z=0 \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} x-2y+z=1 \\ x-y+2z+(-x+2y&-z)=2+(-1) \\ 2x-2y-2z=0 \end{matrix}\right.$$Svolgiamo i calcoli ed otteniamo$$\left\{\begin{matrix} x-2y+z=1 \\y+z=1 \\ 2x-2y-2z=0 \end{matrix}\right.$$Moltiplichiamo adesso la seconda equazione per 2 e sommiamola alla terza equazione$$\begin{matrix} \ \\ 2\cdot \\ \ \end{matrix} \left\{\begin{matrix} x-2y+z=1 \\y+z=1 \\ 2x-2y-2z=0 \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} x-2y+z=1 \\y+z=1 \\ 2x-2y-2z+&(2y+2z)=0+(2) \end{matrix}\right.$$Svolgiamo i calcoli e ricaviamo la x dalla terza equazione$$\left\{\begin{matrix} x-2y+z=1 \\y+z=1 \\ 2x=2 \rightarrow x=1 \end{matrix}\right.$$Sostituiamo il valore ottenuto nelle altre due equazioni e continuiamo il calcolo delle incognite. Possiamo procedere come vogliamo, ad esempio ancora per riduzione$$\left\{\begin{matrix} 1-2y+z=1 \\y+z=1 \\x=1 \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} -2y+z=0 \\y+z=1 \\x=1 \end{matrix}\right.$$Moltiplichiamo la prima per -1 e sommiamola alla seconda ( equivale a dire sottraiamo la prima equazione alla seconda) $$\begin{matrix}-1\cdot \\ \ \\ \ \end{matrix} \left\{\begin{matrix} -2y+z=0 \\y+z=1 \\x=1 \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} -2y+z=0 \\y+z+(2y-z) & =1+(0) \\x=1 \end{matrix}\right.\\$$ Svolgiamo i calcoli e ricaviamo la y dalla seconda equazione $$\left\{\begin{matrix} -2y+z=0 \\3y=1 \rightarrow & y=\frac{1}{3} \\x=1 \end{matrix}\right.$$sostituiamo nella prima e ricavizmo la z completando il calcolo dei valori delle incognite$$\left\{\begin{matrix} -2\cdot(\frac{1}{3})&+z=0 \rightarrow z=\frac{2}{3}\\y=\frac{1}{3} \\x=1 \end{matrix}\right.$$



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