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Algebra

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Analisi

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Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Risolvere sistemi indeterminati

Un sistema di equazioni può essere indeterminato perchè ha equazioni in numero inferiore a quello delle incognite oppure perché due o più equazioni non sono indipendenti cioè ripetono le loro informazioni. Per vedere se due o più equazioni non sono indipendenti possiamo notare se è possibile manipolarle in modo da renderle identiche oppure se una si può ricavare come combinazione lineare delle altre; è anche possibile utilizzare la matrice dei coefficienti: se non è quadrata (numero di righe diverso dal numero di colonne) oppure il suo rango è inferiore a quello della matrice conpleta.


Consideriamo ad esempio il sistema$$\left\{\begin{matrix} x+y+z=3\\ x+y-2z=-2 \\ 2x+2y-z=1 \end{matrix}\right.$$Notiamo che la terza equazione è la somma delle prime due quindi le tre equazioni non sono indipendenti ed il sistema è indeterminato. Infatti ricavando la x dalla prima equazione e sostituendo nelle altre si ha$$\left\{\begin{matrix} x=3-y-z\\ -3z=-5 \rightarrow z=\frac{5}{3} \\ -3z=-5 \rightarrow z=\frac{5}{3}\end{matrix}\right.$$Abbiamo ottenuto da due equazioni la stessa informazione. Vediamo inoltre che sostituendo il valore di z nella prima equazione possiamo solo ricavare il valore di x in funzione di y o viceversa. Notiamo anche che avrebbe fallito anche il metodo di Cramer perché la matrice dei coefficienti ha detrminante zero e quindi non è definita la frazione per calcolare i valori delle incognite.$$detA=\begin{vmatrix}1 &1 &1 \\ 1 &1 &-2 \\ 2& 2 &-1 \end{vmatrix}=-1-4+2-(2-4-1)=0$$In questi casi possiamo procedere come segue: eliminiamo l'equazione o le equazioni dipendenti dalle altre; consideriamo una o più incognite come parametri in modo da ottenere un sistema che abbia equazioni ed incognite in egual numero; calcoliamo i valori delle incognite rispetto a questi parametri.
Per il sistema precedente possiamo eliminare la terza equazione perché dipende dalle prime due ottenendo$$\left\{\begin{matrix} x+y+z=3\\ x+y-2z=-2 \end{matrix}\right.$$Consideriamo inoltre una variabile (ad esempio x ) come fosse un parametro e portiamola al secondo membro$$\left\{\begin{matrix} y+z=3-x\\ y-2z=-2-x \end{matrix}\right.$$Svolgiamo questo nuovo sistema ottenendo$$\left\{\begin{matrix} y=3-x-z\\ (3-x-z)-2z=-2-x \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} y=3-x-z\\ -3z=-5 \rightarrow z=\frac{5}{3} \end{matrix}\right.$$sostituendo nella prima$$\left\{\begin{matrix} y=3-x-(\frac{5}{3}) & \rightarrow \frac{4}{3}-x\\ z=\frac{5}{3} \end{matrix}\right.$$Diremo allora che il sistema ammette infinite soluzioni ad un parametro (x) cioè ammette una soluzione per ogni possibile valore di x.


Lo stesso risultato lo avremmo ottenuto utilizzando il calcolo matriciale infatti la matrice A dei coefficienti aveva rango 2 come quella completa e quindi trovavamo una sottomatrice di ordine 2 con determinante diverso da zero; da questa matrice riscrivevamo il sistema e lo risolvevamo con il metodo di Cramer ottenendo le stesse soluzioni. Poteva differire ad esempio la scelta del parametro che è arbitraria.
Quindi ogni volta che il determinante della matrice dei coefficienti è uguale a zero dobbiamo valutare il rango della matrice completa; se quest'ultimo è uguale a quello della matrice dei coefficienti il sistema è indeterminato e la differenza tra i due ranghi equivale al numero di equazioni non indipendenti e quindi al numero di variabili da considerare parametri. In particolare si dimostra che detta n la differenza tra i ranghi il sistema ammetterà infinito elevato ad n soluzioni al variare dei parametri.



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