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Algebra

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Valutazione sistemi impossibili

Un sistema è impossibile se due o più equazioni danno relazioni in contrasto tra loro; dal punto di vista matriciale significa che :
un sistema di equazioni è impossibile se il rango della sua matrice completa è maggiore di quello della matrice incompleta(matrice dei coefficienti).
Vediamo un esempio; consideriamo il sistema:$$\left\{\begin{matrix} x+y+z=3\\ x+y-2z=0 \\ 2x+2y-z=1 \end{matrix}\right.$$Procediamo per sostituzione e ricaviamo la x dalla prima equazione e sostituiamo il suo valore nelle altre ottenendo$$\left\{\begin{matrix} x=3-y-z\\ (3-y-z)+y-2z=0 \\ 2(3-y-z)+2y-z=1 \end{matrix}\right.$$Svolgendo i calcoli otteniamo$$\left\{\begin{matrix} x=3-y-z\\ -3z=-3 \rightarrow z=1 \\ -3z=-5 \rightarrow z=\frac{5}{3} \end{matrix}\right.$$Questa è palesemente una contraddizione tra due equazioni infatti non può risultare contemporaneamente la variabile z uguale a due valori diversi. Diremo allora che il sistema è impossibile perché due equazioni si contraddicono.


Vediamo cosa accade dal punto di vista matriciale. Calcoliamo il determinante della matrice A dei coefficienti$$detA=\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 &1 & -2\\ 2& 2 &-1 \end{vmatrix}=-1-4+2-(2-4-1)=0$$Notiamo che questa matrice ha rango 2 perché esiste una sottomatrice di ordine due con determinante diverso da zero; ad esempio la matrice \( A_1 \) ottenuta eliminando la terza riga e la prima colonna$$detA_1=\begin{vmatrix} 1 &1 \\ 1& -2 \end{vmatrix}=-2-1=-3\neq 0$$Osserviamo adesso la matrice completa B e notiamo che il suo rango è 3 infatti la matrice \( B_1 \) che si ottiene eliminando la prima colonna ha determinante non nullo$$B=\begin{pmatrix} 1 &1 &1 &3 \\ 1& 1 & -2 &0 \\ 2& 2 &-1 &1 \end{pmatrix}$$
$$detB_1=\begin{vmatrix} 1 &1 &3 \\ 1& -2 &0 \\ 2& -1 &1 \end{vmatrix}=-2+0-3-(-12+0+1)=6\neq 0$$Si dimostra che ogni qual volta il rango della matrice completa è maggiore di quella incompleta, o dei coefficienti, il sistema è impossibile.


Quindi quando ci troviamo difronte ad un sistema la cui matrice dei coefficienti ha determinante uguale a zero, dobbiamo calcolare il suo rango e quello della matrice completa perché se i due ranghi sono uguali avremo un sistema indeterminato, se invece sono differenti (unica possibilità è che il rango della completa sia maggiore; il contrario non è possibile perché la matrice incompleta è inclusa in quella completa ) il sistema è impossibile.



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