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Algebra

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Analisi

Definizione di Relazione Definizione di Funzione

Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Sistemi di equazioni di primo grado

Un sistema è un insieme di equazioni che valgono contemporaneamente.
Parliamo di sistemi di primo grado quando tutte le equazioni che li compongono sono di primo grado; questi ultimi sono caratterizzati dal numero di incognite e dal numero di equazioni. Risolvere un sistema significa trovare i valori delle incognite che sostituiti nelle equazioni le rendono identità.$$\left\{\begin{matrix} a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+...+a_nx_n=c_1\\ b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3+...+b_nx_n=c_2\\ ...................................\\ k_1x_1+k_2x_2+k_3x_3+...+k_nx_n=c_m \end{matrix}\right.$$ Questo è un sistema di m equazioni ( prima riga,seconda riga,...,emmesima riga ) in n incognite ( \( x_1 , x_2 , ..... , x_n \) ) dove gli \( a_i , b_i , .... , k_i \) sono i coefficienti delle incognite.


I sistemi si dividono in possibili, impossibili ed indeterminati:
  • un sistema si dice possibile se si possono calcolare univocamente i valori delle incognite; questo avviene quando le equazioni non si ripetono nè contraddicono e sono in numero pari a quello delle incognite.
  • un sistema si dice impossibile se non ammette soluzioni; questo avviene se due o più equazioni si contraddicono.
  • un sistema si dice indeterminato se ammette infinite soluzioni; ciò accade se almeno una equazione si ripete cioè due equazioni del sistema sono equivalenti tra loro oppure il numero delle incognite supera quello delle equazioni.
$$ \left\{\begin{matrix} 3x+y=0\\ x-y=2 \end{matrix}\right.$$Questo sistema è possibile infatti le equazioni non si contraddicono, non si ripetono ( infatti non è possiile in nessun modo ottenerne una manipolando l'altra ) ed il numero delle incognite equivale al numero delle equazioni. $$\left\{\begin{matrix} x+y=4\\ -2x-2y=6 \end{matrix}\right.$$Questo sistema è impossibile infatti basta dividere la seconda equazione per -2 ottenendone una equivalente che contraddice la prima; infatti si avrebbe x+y , una volta uguale a 4 ed un'altra volta uguale a-3 il che è impossibile. $$\left\{\begin{matrix} x+y=4\\ -2x-2y=-8 \end{matrix}\right.$$Questo sistema è indeterminato infatti dividendo la seconda equazione per -2 ne otteniamo una equivalente identica alla prima; il sistema si ridurrebbe ad una sola equazione in due incognite che non può avere una soluzione univoca.




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