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Algebra

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Analisi

Definizione di Relazione Definizione di Funzione

Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Risoluzione col metodo di Cramer

Questo metodo sfrutta le matrici associate al sistema cioè la matrice dei coefficienti e quella completa. Per applicarlo scriviamo la matrice dei coefficienti e ne calcoliamo il determinante; per trovare il valore di una variabile prendiamo una matrice uguale a quella incompleta ma che al posto della colonna dei coefficienti della variabile in esame ha la colonna dei termini noti e calcoliamone il determinante. Il valore della variabile sarà dato dal rapporto di questo determinante con il determinante della matrice dei coefficienti. Per la teoria delle matrici clicca qui


Vediamo un esempio; consideriamo il sistema$$\left\{\begin{matrix} x-2y+z=1 \\ x-y+2z=2 \\ 2x-2y-2z=0 \end{matrix}\right.$$Scriviamo la matrice A dei coefficienti delle incognite e la matrice colonna B dei termini noti delle equazioni$$A=\begin{pmatrix} 1 & -2 &1 \\ 1 & -1 & 2\\ 2 &-2 &-2 \end{pmatrix} \ \ \ B=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$$Calcoliamo il determinante di A$$detA=\begin{vmatrix} 1 & -2 &1 \\ 1 & -1 & 2\\ 2 &-2 &-2 \end{vmatrix}=2-8-2-(-2-4+4)=-6$$Indichiamo con \(A_x , A_y , A_z \) le matrici dei coefficienti modificate sostituendo alla colonna relativa ai coefficienti di una variabile, la colonna B dei termini noti ( ad esempio per \(A_x \) la prima colonna di A è stata sostituita dalla colonna B ). Calcoliamo allora le incognite del sistema come segue:

\(x=\frac{detA_x}{detA}=\frac{\begin{vmatrix} 1 & -2 &1 \\ 2& -1 &2 \\ 0& -2 & -2 \end{vmatrix}}{-6}=\frac{2+0-4-(0-4+8)}{-6}=\frac{-6}{-6=1} \)

\( y=\frac{detA_y}{detA}=\frac{\begin {vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1& 2 &2 \\ 2& 0 & -2 \end{vmatrix}}{-6}=\frac{-4+0+4-(4+0-2)}{-6}=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3} \)

\( z=\frac{detA_z}{detA}=\frac{\begin {vmatrix} 1 & -2 & 1\\ 1& -1 &2 \\ 2& -2 & 0 \end{vmatrix}}{-6}=\frac{0-8-2-(-2-4+0)}{-6}=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3} \)

Un caso semplice da risolvere è quello quando la colonna dei termini noti è costituita da tutti zero infatti in questo caso i determinanti delle matrici \( A_x , A_y , A_z \) sono tutti nulli e quindi il valore delle variabili è sempre zero. Tutti questi casi prevedono che il sistema ammetta soluzioni cioè sia possibile. Nel caso i cui non lo fosse si avrebbe che il determinante della matrice A sarebbe nullo e quindi il calcolo visto non avrebbe senso, non potendo dividere per zero.


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