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Algebra

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Sistemi di equazioni di grado superiore al secondo


Purtroppo non esistono procedimenti generali applicabili a tutti i sistemi di equazioni di grado superiore al secondo ma dobbiamo operare attraverso alcuni artifici che, suggeriti dalla forma delle equazioni, ci consentono di semplificare il sistema stesso e trovarne le soluzioni; ad esempio, sfruttando i criteri di equivalenza dei sistemi (già visti per i sistemi di primo grado ), possiamo sommare o sottrarre due equazioni membro a membro oppure moltiplicare o dividere due equazioni. Possiamo inoltre sempre avvalerci di incognite ausiliarie o di altre caratteristiche del sistema come essere un sistema simmetrico.

Si definisce sistema simmetrico quello per il quale le equazioni non cambiano se si scambiano le incognite tra loro.

Il sistema simmetrico fondamentale è$$\left\{\begin{matrix} x+y=s \\ xy=p \end{matrix}\right.$$ed è il sistema a cui tutti i sistemi simmetrici sono riconducibili; esso è molto importante perché in esso sono note la somma ed il prodotto delle incognite e quindi la ricerca delle soluzioni del sistema equivale a cercare le soluzioni dell'equazione di secondo grado \( t^2-st+p=0 \) dove t è una variabile ausiliaria. Una volta trovate le soluzioni dell'equazione \( t_1 \textrm{ e } t_2 \), le soluzioni del sistema saranno $$\left\{\begin{matrix} x=t_1 \\ y=t_2 \end{matrix}\right. \textrm{ e } \left\{\begin{matrix} x=t_2 \\ y=t_1 \end{matrix}\right. $$Allora il problema si sposta su come trasformare un sistema simmetrico nella sua forma fondamentale; ci vengono in aiuto le formule di Waring. Esse sono delle uguaglianze che ci permettono di scrivere la somma o la differenza di potenze in funzione della somma e del prodotto tra le incognite.$$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy \\ x^2 - y^2 = (x-y)^2 + 2xy \\ x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) \\ x^3 - y^3 = (x-y)^3 + 3xy(x-y) \\x^4 + y^4 = (x+y)^4 - 4xy(x+y)^2 + 2x^2y^2$$ed altre via via più complicate.

Esempio

Calcolare le soluzioni del seguente sistema simmetrico $$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=-7 \\ x+y=-1\end{matrix}\right.$$ Applichiamo la formula di Waring alla prima equazione ed otteniamo$$\left\{\begin{matrix} (x+y)^3-3xy(x+y)=-7 \\ x+y=-1 \end{matrix}\right.$$sostituiamo nella prima equazione il binomio (x+y) con il valore che ha nella seconda$$\left\{\begin{matrix} (-1)^3-3xy(-1)=-7 \\ x+y=-1 \end{matrix}\right. \\\\\\ \left\{\begin{matrix} 3xy=-6 \rightarrow xy=-2 \\ x+y=-1 \end{matrix}\right.$$Abbiamo adesso un sistema simmetrico scritto nella sua forma fondamentale e possiamo scrivere l'equazione di secondo grado in t$$t^2-(x+y)t+xy=0 \rightarrow t^2+t-6=0$$risolviamo questa equazione
\( \Delta=1+24=25 \)
\( t_1=\frac{-1-\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{-6}{2}=-3 \)
\( t_2=\frac{-1+\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{+4}{2}=2 \)
Quindi le soluzioni del sistema saranno$$\left\{\begin{matrix}x=-3\\y=2\end{matrix}\right. \textrm{ e } \left\{\begin{matrix}x=2\\y=-3\end{matrix}\right.$$

Esempio

Risolvere il sistema simmetrico $$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=19 \\ xy=-6\end{matrix}\right.$$Potremmo applicare le formule di Waring e procedere come prima ma nei casi come questo vi è un metodo più veloce per giungere al sistema nella forma fondamentale; poiché la somma è di potenze terze, eleviamo al cubo i membri della seconda equazione ottenendo$$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=19 \\ x^3y^3=-216\end{matrix}\right.$$adesso opero un camviamento di variabile ponendo \( x^3=r \textrm{ e } y^3=s \) ed ottengo$$\left\{\begin{matrix} r+s=19 \\ rs=-216\end{matrix}\right.$$che rappresenta la forma fondamentale di un sistema simmetrico quindi posso scrivere l'equazione \( t^2-(r+s)t+rs=0 \rightarrow t^2-19t-216=0 \). Risolviamola ed otteniamo
\( \Delta=19^2-4\cdot(-216)=361+864=1225=35^2 \)
\( t_1=\frac{19-\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{19-35}{2}=8 \)
\( t_2=\frac{19+\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{19+35}{2}=27 \)
Ritornando alle vecchie variabili otteniamo$$\left\{\begin{matrix} x^3=8 \\ y^3=27\end{matrix}\right. \textrm{ e } \left\{\begin{matrix} x^3=27 \\ y^3=8 \end{matrix}\right.$$e quindi$$\left\{\begin{matrix} x=2 \\ y=3\end{matrix}\right. \textrm{ e } \left\{\begin{matrix} x=3 \\ y=2 \end{matrix}\right.$$ Ogni volta che ho un sistema simmetrico scritto nella forma$$\left\{\begin{matrix} x^n+y^n=a \\ xy=b\end{matrix}\right.$$possiamo elevare alla potenza ennesima il monomio xy ed operare il cambio di variabili; dobbiamo però stare attenti a quando n è pari perché nel tornare indietro introduciamo radici estranee visto che la radice pari di un numero è sia quella positiva che quella negativa. Dobbiamo allora osservare il segno del prodotto xy e scegliere i valori che fanno ottenere il segno corretto del prodotto.


Per i sistemi non simmetrici non ci resta che effettuare delle trasformazioni che li porti in condizioni risolvibili.

Esempio

Calcolare le soluzioni del sistema di equazioni di quarto grado$$\left\{\begin{matrix} x^2-xy-2y^2=-9 \\ 2x^2-xy-3y^2=-12\end{matrix}\right.$$per scomporre i primi membri consideriamo il prodotto -xy nella prima equazione come ( xy-2xy ) e nella seconda come (2xy-3xy) ottenendo$$\left\{\begin{matrix} x^2+xy-2xy-2y^2=-9 \\ 2x^2+2xy-3xy-3y^2=-12\end{matrix}\right. \\\\\\ \left\{\begin{matrix}x(x+y)-2y(x+y)=-9 \\ 2x(x+y)-3y(x+y)=-12\end{matrix}\right. \\\\\\ \left\{\begin{matrix}(x+y)\cdot(x-2y)=-9 \\ (x+y)\cdot(2x-3y)=-12\end{matrix}\right.$$dividiamo le due equazioni membro a membro nelle condizioni che risulti \(x+y\neq0 \rightarrow x\neq-y \textrm{ e } 2x-3y\neq0 \rightarrow x\neq\frac{3}{2}y \) ottenendo$$\left\{\begin{matrix}(x+y)\cdot(x-2y)=-9 \\ \frac{x-2y}{2x-3y}=\frac{-9}{-12}\end{matrix}\right. \\\\\\ \left\{\begin{matrix}(x+y)\cdot(x-2y)=-9 \\ \frac{x-2y}{2x-3y}=\frac{3}{4}\end{matrix}\right.$$ Portiamo la seconda equazione a denominatore comune e poi lo eliminiamo$$\left\{\begin{matrix}(x+y)\cdot(x-2y)=-9 \\ 4(x-2y)=3(2x-3y)\end{matrix}\right. \\\\\\ \left\{\begin{matrix}(x+y)\cdot(x-2y)=-9 \\ -2x=-y \end{matrix}\right.$$esplicitiamo la seconda equazione in funzione di y e sostituiamo il valore ottenuto nella prima$$\left\{\begin{matrix}(x+2x)\cdot[x-2(2x)]=-9 \\ 2x=y\end{matrix}\right.$$Calcolo le soluzioni della prima equazione:
\( (x+2x)\cdot(x-4x)=-9 \)
\( x^2-4x^2+2x^2-8x^2=-9 \)
\( -9x^2=-9 \rightarrow x^2=1 \rightarrow x=\pm1 \)
Calcolo il valore della variabile y relativa ad ogni valore della variabile x
per \( x=-1 \rightarrow y=-2 \)
per \( x=1 \rightarrow y=2 \)
Le soluzioni del sistema sono allora$$\left\{\begin{matrix}x=-1 \\ y=-2 \end{matrix}\right. \textrm{ e } \left\{\begin{matrix}x=1 \\ y=2 \end{matrix}\right.$$



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