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Algebra

Insiemi Numerici Le Potenze I Monomi I Polinomi Prodotti Notevoli Divisione tra Polinomi Scomposizione di Polinomi m.c.m. M.C.D. Frazioni Algebriche Equazioni I grado Equazioni fratte Equazioni letterali Equazioni ai moduli Problemi di I grado Sistemi di I grado Metodi risolutivi Sistemi Metodo di Sostituzione Metodo di riduzione Metodo del confronto Metodo di Cramer Cenni sulle Matrici Studio sistemi indeterminati Valutazione sistemi impossibili Disequazioni di I grado Disequazioni letterali Sistemi di Disequazioni Disequazioni fratte Disequazioni scomponibili Disequazioni ai moduli

Analisi

Definizione di Relazione Definizione di Funzione

Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Scomposizione dei polinomi

La scomposizione dei polinomi la condizione necessaria per poter operare con frazioni i cui numeratori e denominatori sono polinomi infatti avremo bisogno di calcolare per essi M.C.D. e m.c.m.
Cominciamo distinguendo varie possibilit di scomposizioni:
  • raccoglimento a fattor comune
  • raccoglimenti parziali
  • scomposizione con il metodo di Ruffini
  • scomposizione con prodotti notevoli
  • somma e differenza di potenze
  • scomposizione dei trinomi notevoli

Raccoglimento a fattor comune

Consiste nel riconoscere il polinomio come prodotto tra un monomio ed un polinomio pi semplice;quindi si mette in evidenza il monomio; in pratica si calcola il M.C.D. tra i monomi che fanno parte del polinomio ( vedi lezione sui monomi ) e lo si pone in evidenza. Vediamo qualche esempio:

1) Consideriamo il polinomio \(8a^3b^2+6ab^3+10ab^2+2a^5b^7 \) e calcoliamo il M.C.D. tra i monomi; esso \( 2ab^2 \) quindi il polinomio si pu riscrivere come \( (2ab^2)\cdot(4a^2+3b+5+a^4b^5) \).

2)Consideriamo il polinomio \(6a^3c+6a^2b^3c+12ab^2c^3+9a^5c^2 \) e calcoliamo il M.C.D. tra i monomi; esso \( 3ac \) quindi il polinomio si pu riscrivere come \( (3ac)\cdot(2a^2+2ab^3+4b^2c^2+3a^4c) \). In generale mettiamo in evidenza termini positivi ma nessuno ci obbliga a farlo anzi a volte si rende necessario mettere in evidenza anche il segno meno:$$-2ab-4a^2-10ab^2=(-2a)\div(b+2a+5b^2)$$In questo caso, ad esempio, mettere in evidenza -2a invece di 2a ci ha consentito di ottenere nella seconda parentesi tutti segni positivi invece di tutti segni negativi.
Notiamo infine che in alcuni casi possibile anche evidenziare pi di un semplice monomio; ad esempio$$3x(x+2) +2xy(x+2)^2+x+2=3x(x+2) +2xy(x+2)^2+(x+2)=(x+2)\cdot(3x+2xy+1)$$

Raccoglimenti parziali

Alcune volte non ci sono elementi comuni a tutti i monomi ma solo ad alcuni. In questi casi possibile raccogliere se serve in modo parziale i monomi per giungere a condizioni vantaggiose per ulteriori raccoglimenti. Vediamo qualche esempio:

Consideriamo il polinomio \( 2a^2+2ab+3(a+b) \) esso non ha fattori comuni a tutti i monomi per notiamo che se metto in evidenza tra i primi due monomi il termine 2a ottengo \( 2a(a+b)+3(a+b) \) ed ora posso raccogliere ulteriormente ottenendo \( (a+b)\cdot(2a+3) \).

Consideriamo il polinomio \( 3ac -3c^2 -2a^3+2a^2c \) se metto in evidenza tra i primi due monomi il termine 3c e tra i secondi due \( 2a^2 \) ottengo \( 3c(a-c)+2a^2(-a+c) \); questa volta i due termini tra parentesi non sono uguali ma differiscono solo per i segni che sono opposti. Possiamo considerare di mettere in evidenza un segno meno in una delle due parentesi ad esempio la prima ottenendo \( -3c(-a+c)+2a^2(-a+c) \) ed ora posso raccogliere ulteriormente ottenendo \( (c-a)\cdot(2a^2-3c) \).

N.B. Se dopo un raccoglimento parziale non sono possibili ulteriori raccoglimenti, esso inutile e bisogna quindi cercare un'altra strada per scomporre il polinomio

Scomposizione col metodo di Ruffini



Questo metodo applicabile a qualsiasi polinomio ma a volte complicato e si applica per tentativi. Consiste nel trovare un binomio del tipo (a-n), dove "a" la parte letterale e "n" un numero che usato come divisore del polinomio stesso ci dia resto nullo. Fortunatamente il resto della divisione lo possiamo conoscere in anticipo per il teorema di Ruffini ( vedi lezione precedente ) sostituendo alla lettera del polinomio il valore di "n"; dobbiamo quindi procedere per tentativo variando il valore di "n". Una scorciatoia si ottiene riconoscendo che "n" deve essere sempre un fattore del termine senza lettera del polinomio(a fattore di b se esiste un altro numero c tale che il prodotto tra a e c uguale a b). Il numero n pu essere anche frazionario ed in questo caso si provano come suoi valori le frazioni il cui numeratore il termine senza lettera e il denominatore un divisore del coefficiente del termine con la potenza massima.
Vediamo un esempio; consideriamo il polinomio \( 2x^2+3x-2 \) e cominciamo a testare i possibili n calcolando per essi il resto della divisione tra il polinomio ed il binomio (x-n):

n=1 resto \(=2(1)^2+3(1)-2=3 \rightarrow \) questo n da scartare;

n=-1 resto \(=2(-1)^2+3(-1)-2=-3 \rightarrow \) questo n da scartare;

n=2 resto \(=2(2)^2+3(2)-2=12 \rightarrow \) questo n da scartare;

n=1 resto \(=2(-2)^2+3(-2)-2=0 \rightarrow \) questo il valore di n che cercavamo;effettuiamo quindi la divisione con il metodo di ruffini:$$ \frac{\begin{matrix} \begin{matrix}\\ \\-2\end{matrix} & \begin{vmatrix} +2 &+3 \\ \blacktriangledown & \\ \blacktriangledown & -4\end{vmatrix} & \begin{matrix} -2\\ \\+2 \end{matrix} \end{matrix}}{\begin{matrix} \ & \begin{vmatrix} +2 & -1 \end{vmatrix} & 0 \end{matrix}}$$

Scomposizione con i prodotti notevoli

Basta ricordare le formule dei prodotti notevoli e riconoscere nel polinomio i termini del loro sviluppo.

Per il quadrato del binomio ad esempio cerchiamo tre termini di cui due sicuramente positivi e che siano quadrati perfetti mentre il terzo deve rappresentare il doppio prodotto; nel caso in cui riconosciamo i due quadrati con segni entrambi negativi basta prima mettere in evidenza il segno meno. Vediamo un esempio; consideriamo il polinomio di tre termini\( 4x^4-12x^y+9y^2 \) osserviamo che il primo ed il terzo termine sono proprio i quadrati di \( 2x^2 \) e 3y mentre il termine centrale il doppio prodotto tra questi due preso con il segno meno. Ricordando lo sviluppo del quadrato del binomio differenza \( (a-b)^2=a^2+b^2-2ab \) considerando in questo caso \( a=2x^2 \) e b=3y otteniamo $$4x^4-12x^y+9y^2=(2x^2-3y)^2$$ Per il quadrato del trinomio cerchiamo un polinomio costituito di 6 monomi di cui tre devono essere positivi e rappresentare quadrati perfetti mentre gli altri devono rappresentare i doppi prodotti incrociati; ancora una volta se i segni dei quadrati fossero tutti negativi basterebbe mettere in evidenza in tutto il polinomio il segno meno. Questo tipo di scomposizione non semplice da individuare ma quando abbiamo un polinomio di 6 pezzi conviene sempre vedere se sono presenti i tre quadrati; se ci sono poi calcoliamo i doppi prodotti e vediamo se sono presenti.
Consideriamo il polinomio \( x^2+4y^2+9 +4xy +6x+12y \)e procediamo come segue: individuiamo i tre quadrati che sono \(x^2=(x)^2 , 4y^2=(2y)^2 , 9=(3)^2 \) ora ricordando la formula del quadrato del trinomio calcoliamo uno alla volta i doppi prodotti e verifichiamo se fanno parte del polinomio; se cos non fosse non sarebbe una scomposizione possibile e si dovrebbe cercare un'altra strada.
Doppio prodotto primo per il secondo \(2\cdot(x)\cdot(2y)= 4xy \rightarrow \) c' quindi andiamo avanti
Doppio prodotto primo per il terzo \(2\cdot(x)\cdot(3)= 6x \rightarrow \) c' quindi andiamo avanti
Doppio prodotto secondo per il terzo \(2\cdot(2y)\cdot(3)=12y \rightarrow \) c' quindi siamo davanti proprio al quadrato del trinomio e scriviamo: $$ x^2+4y^2+9 +4xy +6x+12y=(x+2y+3)^2$$ Per il cubo del binomio cerchiamo un polinomio costituito da 4 monomi di cui due sono dei cubi perfetti e gli altri due i tripli prodotti; come negli altri casi noi cerchiamo prima i due cubi ed una volta trovati calcoliamo i tripli prodotti del primo al quadrato per il secondo e del primo per il second al quadrato per verificare che essi siano presenti nel polinomio se cos possiamo scrivere il polinomio come cubo di un binomio. Vediamo un esempio; consideriamo il polinomio \( 8x^3-12x^2y^2+6xy^4-y^6 \) e notiamo che il primo ed ultimo termine sono rispettivamente i cubi di 2x e \( -y^2 \).
Calcoliamo allora il triplo prodotto del primo al quadrato per il secondo \(3(2x)^2(-y^2)=-12x^2y^2 \) che presente nel polinomio;
allo stesso modo il secondo triplo prodotto sar \(3(2x)(-y^2)^2=6xy^4 \) che pure presente nel polinomio; quindi siamo davanti al cubo di un binomio e scriviamo:$$ 8x^3-12x^2y^2+6xy^4-y^6 =(2x-y^2)^3$$ Per il prodotto notevole somma per differenza cerchiamo un binomio che sia costituito da dalla differenza tra due quadrati; se cos fosse lo scomponiamo nel prodotto di una somma per una differenza tra due termini tali che i loro quadrati sono proprio i monomi del polinomio. Vediamo un esempio; consideriamo il binomio \( 4x^2z^4 - 9y^2 \) il primo termine il quadrato di \( 2xz^2 \) mentre il secondo il quadrato di 3y. Ricordando il prodotto notevole \( (a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 \) e considerandolo al contrario otteniamo $$4x^2z^4 - 9y^2=(2xz^2+3y)\cdot(2xz^2-3y)$$

Scomposizioni di somme e differenze di potenze



Si distinguono quattro casi: somma di potenze pari, somma di potenze dispari, differenza di potenze pari e differenza di potenze dispari. Ricaviamo queste formule di scomposizione dalla pratica; cio dividiamo con il metodo di Ruffini il binomio ed osserviamo il risultato.

Per la differenza di potenze dispari:
Consideriamo il generico binomio \(a^n-b^n \) con n dispari e volendo applicare il metodo di Ruffini, consideriamo b come fosse un numero. Cerchiamo un coefficiente x in modo che il binomio (a-x) sia divisore della differenza di potenze e dia resto zero; x dovr essere un fattore di \( b^n \) .
Applichiamo Ruffini con x=b ed otteniamo $$\frac{\begin{matrix} \begin{matrix} \\ \\b \end{matrix} & \begin{vmatrix} +1 & 0& 0 & ... & 0 \\ \blacktriangledown & & & & \\ \blacktriangledown &+b &+b^2 &... & b^{n-1} \end{vmatrix} & \begin{matrix} -b^n\\ \\+ b^n \end{matrix} \end{matrix}}{\begin{matrix} & \begin{vmatrix} +1 & +b & +b^2 & ... & b^{n-1} \end{vmatrix} & 0 \ \ \end{matrix}}$$Quindi il binomio si scompone come:
$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+........+ab^{n-2}+b^{n-1})$$ Una differenza di potenze dispari uguale al prodotto di un binomio dato dalla differenza delle basi per un polinomio ordinato e completo il cui primo termine uguale al primo termine della differenza abbassato di un grado, poi gli altri si ottengono dai precedenti abbassando di un grado il primo termine ed aumentando di un grado il secondo ed i segni sono tutti positivi

Basta quindi individuare i termini "a" e "b" ed applicare la regola; consideriamo ad esempio il binomio \( 8x^3-y^6 \). Per noi equivale ad \( a^3-b^3 \) dove a=2x e \( b =y^2 \) quindi semplifichiamo come \( (a-b)\cdot(a^2+ab+b^2) \) e sostituendo di nuovo otteniamo$$ 8x^3-y^6=(2x-y^2)\cdot(4x^2+2xy^2+y^4)$$ Per la somma di potenze dispari:
Ripetiamo i ragionamenti fatti per la somma di potenze dispari ma questa volta il quoziente avr resto 0 per x=-b . Applichiamo il metodo di Ruffini$$\frac{\begin{matrix} \begin{matrix} \\ \\-b \end{matrix} & \begin{vmatrix} +1 & 0& 0 & ... & 0 \\ \blacktriangledown & & & & \\ \blacktriangledown &-b &+b^2 &... & +b^{n-1} \end{vmatrix} & \begin{matrix} +b^n\\ \\- b^n \end{matrix} \end{matrix}}{\begin{matrix} & \begin{vmatrix} +1 & -b & +b^2 & ... & +b^{n-1} \end{vmatrix} & 0 \end{matrix}}$$Quindi il binomio si scompone come:
$$a^n+b^n \textrm{ con n dispari } =(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+........-ab^{n-2}+b^{n-1})$$ una somma di potenze dispari uguale al prodotto di un binomio dato dalla somma delle basi per un polinomio ordinato e completo il cui primo termine uguale al primo termine della somma abbassato di un grado, poi gli altri si ottengono dai precedenti abbassando di un grado il primo termine ed aumentando di un grado il secondo ed i segni sono alternati con il primo positivo

Basta quindi individuare i termini "a" e "b" ed applicare la regola; consideriamo ad esempio il binomio \( 8x^3+y^6 \). Per noi equivale ad \( a^3+b^3 \) dove a=2x e \( b =y^2 \) quindi semplifichiamo come \( (a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \) e sostituendo di nuovo otteniamo$$ 8x^3+y^6=(2x+y^2)\cdot(4x^2-2xy^2+y^4)$$ Per la differenza di potenze pari:

In generale possibile applicare una formula simile a quella usata per le potenze dispari; per vantaggioso utilizzare la formula gi vista per la differenza di quadrati ricordando che tutte le potenze pari sono quadrati di altre potenze. Ad esempio un binomio del tipo \(a^n-b^n \textrm{ con n pari }=(a^{\frac{n}{2}}+b^{\frac{n}{2}})\cdot(a^{\frac{n}{2}}-b^{\frac{n}{2}}) \) applicando la scomposizione somma per differenza ed ora se il grado ancora pari per il binomio si procede allo stesso modo mentre per quello somma ci si ferma; se invece \( \frac{n}{2} \) dispari si applicano le formule di scomposizione per la somma e la differenza di potenze dispari. Vediamo un esempio $$a^6-b^6=(a^3+b^3)\cdot(a^3-b^3)=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2)\cdot(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2)$$Oppure$$a^4-b^4=(a^2+b^2)\cdot(a^2-b^2)= (a^2+b^2)\cdot(a+b)\cdot(a-b)$$ Ancora una volta basta individuare i termini "a" e "b" ed applicare la regola.

Per la somma di potenze pari:

In genere una somma di potenze pari non si pu scomporre. Esiste per una eccezione: quando i termini, di cui i monomi del polinomio sono potenza quarta, hanno il doppio prodotto tra i loro quadrati che ancora un quadrato.

Consideriamo il binomio \( a^4+4b^4 \); i monomi al quadrato sono \(a^2 \textrm{ e } 2b^2 \) ed il loro doppio prodotto \(4a^2b^2 \) che un quadrato perfetto. In queste condizioni possibile adottare un trucco per scomporre il binomio: sottraiamo e sommiamo al binomio la stessa quantit pari a questo doppio prodotto ed otteniamo$$a^4+4b^4+4a^2b^2-4a^2b^2=(a^4+4b^4+4a^2b^2)-4a^2b^2$$ma il primo termine il quadrato del binomio \(a^2+2b^2) \) quindi otteniamo $$(a^4+4b^4+4a^2b^2)-4a^2b^2=(a^2+2b^2)^2-4a^2b^2$$ma questa una differenza di quadrati ed scomponibile come somma per differenza: $$[(a^2+2b^2)+2ab]\cdot[(a^2+2b^2)-2ab]=(a^2+2b^2+2ab)\cdot (a^2+2b^2-2ab)$$ Scomposizione dei trinomi notevoli

Questa scomposizione si basa sul fatto che il prodotto tra due binomi sempre un trinomio; quindi per una certa tipologia di trinomi ci chiediamo quali sono i binomi il cui prodotto li eguagli. I trinomi considerati devono essere ordinati e completi e con il coefficiente della potenza di secondo grado pari a 1; cio del tipo \(a^2+xa+y \) dove x e y sono coefficienti numerici. Ci chiediamo se esistono due numeri s e t per i quali risulti \( (a+s)\cdot(a+t)=a^2+xa+y \). Calcoliamo il prodotto (a+s)(a+t) ed otteniamo \( a^2+ta+sa+st=a^2+(t+s)a+st \); ma affinch due polinomi siano uguali essi devono avere uguali tutti i coefficienti di egual grado, quindi$$\left\{\begin{matrix} s+t=x\\s\cdot t=y \end{matrix}\right.$$ Questo significa che quando mi trovo davanti ad un trinomio di questo tipo non devo ricorrere per forza al metodo di Ruffini ma posso cercare semplicemente due coefficienti la cui somma pari al coefficiente della potenza di grado 1 del trinomio ed il cui prodotto uguale al coefficiente del termine di grado 0. Se li trovo posso scomporre il trinomio come prodotto di due binomi del tipo (a+r) dove r vale una volta il primo coefficiente trovato ed una volta il secondo. Ad esempio consideriamo il trinomio \( a^2+5a+6 \); i due coefficienti sono 2 e 3 infatti 2+3=5 e \( 2\cdot3=6 \) quindi il trinomio si scompone come$$a^2+5a+6=(a+3)\cdot(a+2)$$Notiamo che a volte i due coefficienti possono essere anche negativi.$$a^2-5a+6=(a-3)\cdot(a-2)$$infatti (-2)+(-3)=-5 e \( (-2)\cdot(-3)=6 \) oppure$$a^2-1a-6=(a-3)\cdot(a+2)$$infatti (2)+(-3)=-1 e \( (2)\cdot(-3)=-6 \)



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