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Algebra

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Analisi

Definizione di Relazione Definizione di Funzione

Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Prodotti notevoli

Quadrato del binomio

Calcoliamo il seguente quadrato di un binomio allo scopo di ricavarne una regola generale:$$(a+b)^2=(a+b)\cdot(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab +b^2$$ Questo significa che nel fare il quadrato di un qualsiasi binomio, costituito dalla somma di 2 monomi, possiamo semplicemente elevare al quadrato il primo ed il secondo termine e sommarvi il doppio prodotto tra i monomi. Se il binomio fosse costituito dalla differenza tra monomi, basta ricordare che il segno dei quadrati resta sempre positivo perchè sono potenze di grado pari mentre il doppio prodotto cambia segno poichè i due monomi hanno segno opposto ed il loro prodotto è negativo; quindi$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$.

Quadrato del trinomio

Calcoliamo esplicitamente il quadrato del trinomio (a+b+c) e ricaviamone la formula generale: $$(a+b+c)^2=(a+b+c)\cdot(a+b+c)=a\cdot(a+b+c)+b\cdot(a+b+c)+c\cdot(a+b+c)=a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2$$e sommando i monomi simili$$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$Cioè il quadrato di un trinomio si ottiene sommando ai quadrati dei tre monomi i doppi prodotti del primo monomio per il secondo, del primo per il terzo e del secondo per il terzo. Nel caso il trinomio non fosse la somma di tre monomi ma ci fosse pure qualche segno meno bisogna solo ricordare il calcolo dei segni per i doppi prodotti; facciamo qualche esempio:$$(a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc$$ $$(a-b+c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc$$ $$(a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc$$Il caso con tre segni meno è identico a quello con tre segni + ; si deduce anche dal fatto che un numero ed il suo opposto hanno lo stesso quadrato essendo quest'ultimo sempre positivo.
Per effettuare il quadrato di un qualsiasi trinomio basta applicare questa formula ponendo il primo monomio=a il secondo=b ed il terzo=c.

Cubo del binomio

Ancora una volta svolgiamo il cubo come prodotto e ricaviamo la formula generale:$$(a+b)^3=(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)=(a+b)^2\cdot(a+b)$$ma il primo termine è il quadrato del binomio quindi scriviamo$$(a^2+2ab+b^2)\cdot(a+b)=a\cdot(a^2+2ab+b^2)+b\cdot(a^2+2ab+b^2)=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3=$$sommando i monomi simili$$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$Cioè il cubo di un binomio si ottiene sommando il cubo del primo monomio più il cubo del secondo più il triplo prodotto del primo monomio al quadrato per il secondo più il triplo prodotto del primo per il secondo al quadrato. Se il binomio è una differenza basta ricordare che il cubo di un numero conserva il segno del numero stesso mentre il quadrato ha sempre segno positivo e considerare il segno meno come interno al monomio e quindi applicare la formula del cubo di una somma.$$(a-b)^3=[a+(-b)]^3=a^3+(-b)^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2$$

Cubo del trinomio

Agiamo allo stesso modo dei casi precedenti e calcoliamo il cubo del trinomio:$$(a+b+c)^3=(a+b+c)\cdot(a+b+c)^2=$$ il secondo è il quadrato di un trinomio di cui applico la soluzione$$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)=a\cdot(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)+b\cdot(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)+c\cdot(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)=a^3+ab^2+ac^2+2a^2b+2a^2c+2abc+a^2b+b^3+bc^2+2ab^2+2abc+2b^2c+a^2c+b^2c+c^3+2abc+2ac^2+2bc^2=$$sommando i monomi simili otteniamo $$a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc$$Per i trinomi con uno o più segni meno basta considerare i segni interni come prima ed applicare la formula con tutti segni positivi.

Somma per differenza

Agiamo come prima:$$(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$$ Cioè il prodotto tra un binomio somma e uno differenza costituiti dagli stessi monomi è uguale alla differenza tra i quadrati dei monomi stessi.

Potenza del binomio con Tartaglia

Scriviamo le formule che conosciamo per il calcolo della potenza di un binomio:

\( (a+b)^0=1 \textrm{ come per ogni numero} \)

\( (a+b)^1=a+b\)

\( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)

\( (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \)

Consideriamo la parte letterale ed osserviamo che l'esponente di "a" nel primo termine di una riga vale quanto quello del binomio mentre quello di "b" vale 0, nel secondo termine quello di "a" scende di un grado e quello di "b" sale di un grado e così via fino a che nell'ultimo termine l'esponente di "a" vale 0 e quello di "b" vale quanto quello del binomio. Con questo stesso ragionamento possiamo prevedere il comportamento della parte letterale della potenza di un binomio di qualsiasi grado; ad esempio per una potenza quinta del binomio si prevede per la parte letterale:$$a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$$ Consideriamo ora i coefficienti ed osserviamo che essi se ordinati nel giusto modo, formano il cosiddetto "Triangolo di Tartaglia" i cui termini di una riga si calcolano come somma dei 2 che sono sopra di esso nella riga superiore mentre gli estremi sono sempre 1:



Combinando i coefficienti numerici con le parti letterali si può scrivere la potenza di grado qualsiasi di un binomio.
Facciamolo per un binomio di quarto grado: i coefficienti saranno, osservando il triangolo 1 , 4 , 6 , 4 , 1 mentre le parti letterali \( a^4 , a^3b , a^2b^2 , ab^3 , b^4 \) ; combinandoli otteniamo che$$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$

Potenza del binomio,Regola di Newton



Newton ha elaborato un sistema per calcolare i coefficienti numerici senza dover conoscere quelli della potenza di grado più basso( ad esempio per calcolare la potenza di grado 4 non è necessario conoscere i coefficienti di quella di grado 3 come nel caso del triangolo di Tartaglia). Secondo la regola di Newton, ogni coefficiente si calcola su quello che lo precede: per ottenere ogni coefficiente di un binomio (a+b) elevato alla n si moltiplica il coefficiente del precedente elemento per il grado di "a" nello stesso e si divide per la posizione in riga che che l'elemento stesso occupa. Vediamo un esempio:

\( (a+b)^7= \) il primo elemento è \( a^7 \);

il secondo avrà parte letterale \( (a^6b \) e coefficiente pari a \( (1\cdot7)\div1 \) cioè coefficiente del termine precedente (1) per grado della a nello stesso (7) diviso la sua posizione (1); il secondo termine è allora \( 7a^6b \);

il terzo avrà coefficiente \( (7\cdot6)\div2=21 \), sarà quindi \( 21a^5b^2 \) ;

a seguire avremo \( 35a^4b^3 , 35a^3b^4 , 21a^2b^5 , 7ab^6 , b^7 \)

Notiamo che il grado di ogni monomio è 7 e che i coefficienti sono gli stessi quando a e b hanno lo stesso grado; ad esempio il coefficiente di \(a^6b \) vale 7 così come quello di \( ab^6 \).



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