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Algebra

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Problemi di primo grado

Per definizione il problema matematico è un quesito con cui si chiede di trovare dei dati, a priori non noti, deducibili logicamente dai dati enunciati nella traccia del problema stesso.

L'unica difficoltà nell'affrontare un problema è riuscire a tradurre correttamente in linguaggio matematico quello che nella traccia è espresso con parole; il resto è solo calcolo che può essere la risoluzione di una equazione o di un sistema di equazioni. I problemi sono caratterizzati dal grado dell'equazione risolutrice e dal numero di incognite che lo caratterizzano; studieremo adesso i problemi di primo grado risolubili con una equazione (ad una incognita).

problema 1

Una botte piena contiene 10 litri più un terzo della sua capienza, di vino. Quanti litri contiene effettivamente la botte?
Svolgimento
La traccia ci dice che la botte è piena e che contiene 10 litri più \( \frac{1}{3} \) di botte di vino; possiamo allora indicare la capienza totale della botte (in questo caso coincide con la quantità di vino ) con la variabile x ed otteniamo l'equazione x (capienza totale ) =10 ( litri ) + \( \frac{1}{3}\cdot x \) ( un terzo della capienza totale ) cioè $$x=10 + \frac{1}{3}\cdot x \rightarrow x- \frac{1}{3}\cdot x =10 \rightarrow \frac{2}{3}\cdot x = 10 \rightarrow x=10\cdot \frac{3}{2} \rightarrow x=15$$Cioè la botte contiene 15 litri di vino.

problema 2

Dividere in tre parti il numero 60 in modo che la prima parte sia il doppio della seconda e la terza parte ne sia il triplo. Quanto vale la seconda parte?
Svolgimento
In questo caso la nostra incognita sarà la seconda parte e scriviamo$$2 x + x + 3x =60$$Svolgiamo l'equazione ottenendo \( 6x=60 \) e quindi \( x=10 \)

problema 3

In un triangolo un angolo vale 60° e gli altri due, uno il triplo dell'altro. Quanto vale l'angolo più piccolo? Che tipo di triangolo è?
Svolgimento
Questo problema appartiene alla categoria dei problemi geometrici che hanno la caratteristica di non fornire direttamente tutti i dati necessari al suo svolgimento; richiedono infatti anche conoscenze di alcune proprietà di geometria. Infatti per questo teorema ci viene incontro il teorema sulla somma degli angoli interni del triangolo ( Angoli interni al triangolo ), il quale garantisce che la somma degli angoli interni ad un triangolo è di 180° . Scriviamo allora l'equazione considerando l'angolo minore come incognita$$60+x+3x=180$$ $$4x=120 \ \rightarrow \ x=30$$Quindi l'angolo minore è trenta gradi; per rispondere alla seconda domanda notiamo che l'angolo più grande è il triplo del minore, quindi vale 90° e ciò significa che il triangolo è rettangolo.

Problemi risolvibili con sistemi di equazioni

Per risolvere alcuni problemi, però, una equazione non basta più ma c'è bisogno di un sistema di equazioni ( vedi lezione sui sistemi di equazioni ) che saranno estrapolate dal testo del problema; dovremmo essere in grado di scrivere tante equazioni quante incognite consideriamo. Vediamo un esempio:

Problema

Un cacciatore si inoltra nel bosco per una battuta di caccia e porta a termine 30 uccisioni tra uccelli e daini. Sapendo che in totale ha collezionato 100 zampe si determini quanti uccelli e quanti daini sono stati ammazzati.
Chiamiamo x il numero dei daini e y il numero degli uccelli ed estrapoliamo le seguenti relazioni: 1) x+y=30 numero di daini più numero di uccelli uguale uccisioni totali
2)4x+2y=100 numero di zampe di daino più numero di zampe d'uccello uguale totale delle zampe ( abbiamo 4x e 2y perche ogni daino ha 4 zampe mentre ogni uccello ne ha 2 ). Scriveremo allora il sistema$$\left\{\begin{matrix} x+y=30\\4x+2y=100 \end{matrix}\right.$$ricaviamo x dalla prima e sostituiamo nella seconda$$\left\{\begin{matrix} x=30-y\\4(30-y)+2y=100 \end{matrix}\right.$$svolgiamo i calcoli e ricaviamo il valore di y$$\left\{\begin{matrix} x=30-y\\-2y=-20 \rightarrow y=10 \end{matrix}\right.$$sostituiamo ed otteniamo anche il valore di x$$\left\{\begin{matrix} x=30-(10) \rightarrow x=20 \\y=10 \end{matrix}\right.$$Quindi il cacciatore ha predato 20 daini e 10 uccelli.



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