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Algebra

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Le Potenze

La potenza un entit matematica costituita da due numeri: il primo detto base e l'altro esponente. Essa rappresenta in prodotto della base per se stessa tante volte quanto indica l'esponente.$$4^5=4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4$$oppure con la base letterale$$a^3=a\cdot a\cdot a \textrm{ oppure } a^n=a\cdot a\cdot a\cdot ......... \textrm{n volte}$$ Per le potenze sono definiti in modo semplice la moltiplicazione e la divisione nel caso in cui le potenze abbiano la stessa base o lo stesso esponente ed altrettanto semplice la potenza di potenza.

Prodotto di potenze con lo stesso esponente; il prodotto una nuova potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente $$2^3\cdot3^3=(2\cdot2\cdot2)\cdot(3\cdot3\cdot3)=8\cdot27=216=6\cdot6\cdot6=6^3$$ Quoziente tra potenze con lo stesso esponente; il quoziente una nuova potenza che ha per base il quoziente tra le basi e per esponente lo stesso esponente$$4^2\div2^2=(4\cdot4)\div(2\cdot2)=16\div4=4=2^2$$ Prodotto di potenze con la stessa base; il prodotto una nuova potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti$$2^3\cdot2^2=(2\cdot2\cdot2)\cdot(2cdot2)=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^5$$ Quoziente tra potenze con la stessa base; il quoziente una nuova potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza tra gli esponenti$$2^4\div2^3=(2\cdot2\cdot2\cdot2)\div(2\cdot2\cdot2)=16\div8=2=2^1$$ Potenza di una potenza; il risultato una nuova potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti$$(2^3)^2=(2^3)\cdot(2^3)=(2\cdot2\cdot2)\cdot(2\cdot2\cdot2)=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^6=2^{3\cdot2}$$
Vediamo adesso alcuni casi particolari:

Consideriamo il quoziente tra due potenze con la stessa base e con il primo esponente minore del secondo ( ad esempio \( 2^2\div2^4 \) ). Calcoliamo questo rapporto prima come fosse una frazione e poi con le regole delle potenze: $$ 2^2\div2^4=\frac{2^2}{2^4}=\frac{\not{2} \cdot \not{2} }{\not{2}\cdot \not{2}\cdot2\cdot2}=\frac{1}{2\cdot2}=\frac{1}{2^2}$$ mentre con le regole delle potenze otteniamo:$$2^2\div2^4=2^{2-4}=2^{-2}$$I due risultati devono coincidere quindi si ha$$\frac{1}{2^2}=2^{-2}$$Ricaviamo da ci la definizione di potenza ad esponente negativo:
Una potenza ad esponente negativo corrisponde ad una frazione con numeratore 1 e per denominatore la potenza stessa ma con esponente positivo.
Nel caso in cui fosse una frazione ad essere elevata a potenza negativa, questa equivale alla frazione capovolta elevata allo stesso esponente ma positivo.

Consideriamo adesso il quoziente tra due potenze che abbiano la stessa base e lo stesso esponente ( ad esempio \( 3^2\div3^2\) ). Come prima calcoliamo questo rapporto prima come fosse una frazione e poi con le regole delle potenze: $$3^2\div3^2=\frac{3^2}{3^2}=\frac{\not{3}\cdot \not{3}}{\not{3}\cdot \not{3}}=\frac{1}{1}=1$$mentre con le regole delle potenze otteniamo: $$3^2\div3^2=3^{2-2}=3^0$$I due risultati devono coincidere quindi si ha$$1=3^{0}$$ lo stesso succede qualsiasi base si scelga e qualsiasi esponente si consideri. Ricaviamo dunque la definizione di potenza ad esponente zero:
Una potenza con esponente 0 vale sempre 1 indipendentemente dalla base ( si pone anche 0 elevato a 0 uguale ad uno).

Infine notiamo che la potenza di un prodotto o di un quoziente equivalgono al prodotto o quoziente tra potenze. $$(2\cdot3)^2=(2\cdot3)\cdot(2\cdot3)=2\cdot3\cdot2\cdot3=2\cdot2\cdot3\cdot3=2^2\cdot3^2$$ $$(\frac{2}{5})^2=\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}=\frac{2\cdot2}{5\cdot5}=\frac{2^2}{5^2}$$



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