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Algebra

Insiemi Numerici Le Potenze I Monomi I Polinomi Prodotti Notevoli Divisione tra Polinomi Scomposizione di Polinomi m.c.m. M.C.D. Frazioni Algebriche Equazioni I grado Equazioni fratte Equazioni letterali Equazioni ai moduli Problemi di I grado Sistemi di I grado Metodi risolutivi Sistemi Metodo di Sostituzione Metodo di riduzione Metodo del confronto Metodo di Cramer Cenni sulle Matrici Studio sistemi indeterminati Valutazione sistemi impossibili Disequazioni di I grado Disequazioni letterali Sistemi di Disequazioni Disequazioni fratte Disequazioni scomponibili Disequazioni ai moduli Numeri Reali, Radicali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

Polinomi

I polinomi sono insiemi di più monomi; essi vengono classificati per il numero di termini irriducibili( che non si possono più sommare )

\( 2a^4bc +3a^2c+abc^3+c \rightarrow \) rappresenta un polinomio di quattro termini, anche detto quadrinomio.

\( a^3bc +3a^2b^4+ac^3 \rightarrow \) rappresenta un polinomio costituito da tre monomi, è anche chiamato trinomio.

\( 3a^2c-c \rightarrow \) rappresenta un binomio, il polinomio più semplice perchè costituito da soli due monomi.

Si definisce grado di un polinomio il grado del suo monomio con grado più alto. Ad esempio i polinomi appena visti hanno rispettivamente gradi 6, 6 e 3 .
Si è soliti ordinare i polinomi rispetto al grado di una singola lettera scrivendo i monomi in ordine decrescente per il grado della lettera stessa. Vediamo qualche esempio:$$ 2ab^5+3b^4+b^2c+ab$$rappresenta un polinomio ordinato secondo la lettera b $$a^3 +4a^2b^2 +c$$rappresenta un polinomio ordinato secondo a

Un polinomio si dice completo rispetto ad una lettera se presenta un monomio per ogni grado della stessa compreso tra zero ed il suo grado massimo.$$3ab^3c^2+b^2c -a^5b +c^2$$rappresenta un polinomio completo rispetto alla lettera b

Somma e differenza di polinomi

La somma o differenza di 2 o piu polinomi si ottiene unendo in un solo polinomio tutti i monomi e successivamente sommando o sottraendo i monomi simili tra di loro.$$(a^3bc+3a^2b^2-abc +2b^4)+(a^2-abc-2b^4)=a^3bc+3a^2b^2-abc +2b^4+a^2-abc-2b^4=$$sommo o sottraggo i monomi simili ed ottengo$$a^3bc+3a^2b^2+(-1-1)abc +(2-2)b^4+a^2=a^3bc+3a^2b^2-2abc +a^2$$

Moltiplicazione nei polinomi

Nei polinomi è possibile definire diverse tipologie di prodotti:
  • prodotto di un numero per un polinomio; si risolve moltiplicando per quel numero tutti i coefficienti numerici dei monomi costituenti il polinomio.$$3\cdot(a^2b +2abc+c)=3a^2b+6abc+3c$$
  • prodotto fra un monomio ed un polinomio;basta moltiplicare il monomio esterno al polinomio per ogni termine del polinomio stesso.$$ab\cdot(a^3+ab+bc)=a^4b+a^2b^2+ab^2c$$
  • prodotto fra due polinomi;basta moltiplicare ogni monomio del primo polinomio per tutti i monomi del secondo polinomio.$$(a-b)\cdot(ab+b^2)=a\cdot(ab+b^2)-b\cdot(ab+b^2)=a^2b+ab^2-ab^2-b^3=a^2b-b^3$$
  • prodotti notevoli; sono particolari prodotti di cui conosciamo la soluzione e la applichiamo direttamente senza effettuare alcun calcolo. Li vediamo nella prossima pagina.


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