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Algebra

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Insieme dei numeri Reali


L'insieme dei numeri reali rappresenta un ampliamento dell'insieme dei numeri razionali; esso si è reso necessario con l'introduzione dell'operazione di radice. Definiamo allora questa operazione :
si definisce radice ennesima di un numero x il numero k che elevato ad n mi restituisce x
$$\sqrt[n]{x}=k \ \ \Rightarrow \ \ k^{n}=x$$ Il problema nasce perchè questa operazione non è interna all'insieme dei numeri razionali infatti basta considerare la radice di 2 e notare che questo radicale si può solo approssimare nell'insieme dei numeri razionali con un decimale illimitato non periodico. Possiamo però definire due classi numeriche nell'insieme dei razionali:
  • quella che approssima per difetto; costituita dai numeri che approssimano sempre meglio per difetto il radicale aumentando i decimali considerati.
  • quella che approssima per eccesso: costituita dai numeri che lo approssimano per eccesso con sempre più decimali riportati.
Si dimostra che queste due classi sono separate e contigue cioè:
  • ogni elemento della classe per difetto è minore di ogni elemento della classe per eccesso;
  • comunque scelga un valore infinitesimo posso sempre considerare due elementi, uno di ogni classe, in modo che la loro differenza è minore del valore considerato.
Questo mi garantisce che l'elemento di separazione tra le classi è unico. Definiamo allora
numero reale l'elemento di separazione tra due classi separate e contigue di numeri razionali
In questa definizione sono anche inclusi tutti i numeri razionali stessi infatti per ogni numero razionale è possibile definire due classi separate e contigue che lo approssimano per difetto e per eccesso.

Ad esempio per il numero 4 le due classi saranno gli insiemi A e B come segue:
A={3.9 , 3.99 , 3.999 , .....} con sempre più decimali
B={4.1 , 4.01 , 4.001 , .....} con sempre più decimali

Queste sono due classi di razionali separate e contigue e quindi l'elemento di separazione è unico ed è un numero reale. I numeri reali vengono anche rappresentati su una retta, chiamata retta reale, con la quale l'insieme numerico ha una relazione biunivoca cioè ad ogni numero reale corrisponde un solo punto sulla retta ed a ogni punto della retta corrisponde un solo numero reale.

Possiamo adesso definire tutte le operazioni tra numeri reali come operazioni tra le classi che approssimano i numeri stessi; ma notiamo che per il gruppo dei numeri razionali interno ai numeri reali le operazioni sono esattamente le stesse già studiate. Passiamo a studiare quindi in modo più specifico i nuovi elementi introdotti in questo nuovo insieme numerico cioè i radicali.

Radicali

Definiamo il radicale come operazione inversa dell'elevamento a potenza; ogni numero rappresenta la potenza ennesima della radice ennesima dello stesso o meglio se applico la radice ennesima ad un numero ed elevo il risultato alla potenza ennesima ritrovo il numero di partenza. Quindi fare la radice di un numero è cercare quel valore che elevato ad una potenza pari all'indice di radice ci restituisce il numero stesso. Distinguiamo due tipi di radicali:
  • radicali aritmetici; sono quelli in cui non ci interessa il segno del risultato quindi lo prendiamo sempre positivo.
  • radicali algebrici; sono quelli in cui consideriamo anche il segno. Essi coincidono con quelli aritmetici solo nel caso di indici di radice dispari mentre quando gli indici di radice sono pari bisogna considerare come soluzione sia quella positiva che negativa.
Consideriamo il radicale \( \sqrt[4]{16} \);
1) diremo che il radicale aritmetico vale 2 senza alcun segno infatti \( 2\cdot2\cdot2\cdot2=16 \) . Il radicale algebrico, invece, deve tenere in conto anche il segno e quindi notiamo che anche \(-2\cdot -2\cdot -2\cdot -2=16 \) quindi anche -2 è una radice algebrica di 16; questo tipo di radicale rappresenta la vera operazione inversa della potenza.
Notiamo però che nell'insieme dei numeri reali non sono definite le radici con indice pari e radicandi negativi infatti non vi è nessun numero, tra i numeri reali, che moltiplicato per se stesso un numero pari di volte restituisca un valore negativo; per questo motivo quando troveremo dei parametri sotto radice dovremo introdurre quelle che sono le condizioni di realtà della radice stessa.
$$\sqrt{a+3}+\sqrt[4]{a}$$è una espressione esistente nell'insieme dei numeri reali se i radicandi sono entrambi non negativi cioè deve risultare simultaneamente$$\left\{\begin{matrix} a+3\geq 0 & \rightarrow a\geq -3\\ a\geq 0& \end{matrix}\right.$$cioè \( a\geq0 \).

Vediamo ora quando due radicali sono equivalenti:
due radicali sono equivalenti se hanno lo stesso valore; praticamente se è possibile trasformarli l'uno nell'altro moltiplicando o dividendo sia l'indice di radice che l'esponente del radicando per uno stesso valore.

Consideriamo ad esempio i due radicali \( \sqrt[3]{27} \) e \( \sqrt{9} \) ; essi sono equivalenti infatti \( \sqrt[3]{27}=3 \) e \( \sqrt{9}=3 \); inoltre \( \sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3} \) e moltiplicando per 2 e dividendo per 3 sia l'indice di radice che l'esponente del radicando otteniamo \( \sqrt[3\cdot \frac{2}{3}]{3^{3\cdot \frac{2}{3}}}=\sqrt[2]{3^2} \) ed omettendo, come consuetudine l'indice 2 della radice e svolgendo la potenza al radicando otteniamo proprio \( \sqrt{9} \) come ci aspettavamo.

Operazioni con i radicali

  • Somma e Differenza di radicali
    Parliamo direttamente di somma algebrica cioè consideriamo la differenza come una somma dove il secondo addendo è negativo. La somma algebrica tra radicali ricorda quella dei monomi infatti è possibile sommare solo radicali simili e la somma è un nuovo radicale che ha per radice la stessa radice e per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti
    $$3\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt[3]{4}-\sqrt{2}+4\sqrt[3]{4}=$$ posso sommare tra loro algebricamente i radicali simili ed ottengo ( dove il coefficiente del radicale è omesso si sottintende 1 )$$(3-1)\sqrt{2}+\sqrt{3}+(1+4)\sqrt[3]{4}=2\sqrt{2}+\sqrt{3}+5\sqrt[3]{4}$$
  • Prodotto di radicali
    Per il prodotto dobbiamo distinguere due casi: quello in cui le radici hanno lo stesso indice e quello in cui hanno indice diverso. Nel primo caso diremo che il prodotto tra due radicali con lo stesso indice di radice è un nuovo radicale che ha per indice di radice lo stesso indice, per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per radicando il prodotto dei radicandi.
    $$3\sqrt{2}\cdot \sqrt{7}=(3\cdot1)\sqrt{2\cdot7}=3\sqrt{14} \textrm{ o anche } 3\sqrt[3]{4}\cdot2\sqrt[3]{5}=(3\cdot2)\sqrt[3]{4\cdot5}=6\sqrt[3]{20}$$
    Nel caso in cui gli indici di radice siano diversi bisogna prima manipolare i due radicali in modo da ottenerne due con lo stesso indice di radice per poi applicare la moltiplicazione come nel caso precedente.

    Consideriamo il prodotto \( 3\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{7} \) ; manipoliamo allora il primo radicale per ottenerne uno equivalente con indice di radice pari a quello del secondo radicale ed effettuiamo poi la moltiplicazione come prima$$3\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{7}=3\cdot \sqrt[2\frac{3}{2}]{2^{\frac{3}{2}}}\cdot \sqrt[3]{7}=3\sqrt[3]{2^{\frac{3}{2}}}\cdot \sqrt[3]{7}=3\sqrt[3]{7\cdot2^{\frac{3}{2}}}$$ oppure più semplicemente possiamo calcolare il m.c.m. tra gli indici di radice dei radicali fattori, in questo caso 6, poi dividere il risultato per il primo indice ed utilizzare il valore ottenuto come esponente del primo radicando; allo stesso modo dividiamo il m.c.m. per l'indice di radice del secondo radicale ed utilizziamo il risultato come esponente del secondo radicando. Il m.c.m. infine rappresenterà l'indice di radice del radicale prodotto.$$3\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{7}=3\sqrt[6]{2^3}\cdot \sqrt[6]{7^2}=3\sqrt[6]{2^3\cdot7^2}$$I due radicali prodotto sono palesemente equivalenti ed inoltre il secondo è scritto in maniera più chiara; di regola, quindi, utilizzeremo il secondo metodo per calcolare il prodotto di 2 o più radicali.

    Notiamo che nel prodotto tra radici ad indici differenti abbiamo trattato gli indici di radici come se fossero denominatori di frazioni i cui numeratori erano gli esponenti dei radicandi; da ciò ricaviamo la rappresentazione esponenziale dei radicali per la quale

    \( \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}} \) quindi il radicale con indice di radice n e radicando a elevato all'esponente m equivale alla potenza con esponente frazionario il cui numeratore è l'esponente del radicando m ed il denominatore l'indice di radice n.
    Vediamo un esempio: $$\sqrt[3]{2^2}\cdot \sqrt[4]{2^3}=2^{\frac{2}{3}}\dot2^{\frac{3}{4}}=2^{\frac{8+9}{12}}=2^{\frac{17}{12}}$$calcoliamo il prodotto anche nel modo usuale ed otteniamo$$\sqrt[3]{2^2}\cdot \sqrt[4]{2^3}=\sqrt[12]{(2^2)^4}\cdot \sqrt[12]{(2^3)^3}=\sqrt[12]{2^8}\cdot \sqrt[12]{2^9}=\sqrt[12]{2^8\cdot 2^9}=\sqrt[12]{2^{8+9}}= \sqrt[12]{2^{17}}$$
  • Quoziente tra radicali
    Come per il prodotto anche per il quoziente bisogna distinguere due casi: quello in cui i radicali hanno lo stesso indice di radice e quello in cui gli indici sono diversi. Nel primo caso il quoziente tra due radicali con indice di radice uguale è un nuovo radicale con lo stesso indice di radice il cui coefficiente è il quoziente dei coefficienti ed il cui radicando è il quoziente dei radicandi.
    Nel secondo caso dobbiamo manipolare i radicali fino a far coincidere gli indici di radice per poi operare come prima.

    Esempio di quoziente tra radicali con lo stesso indice di radice:$$3\sqrt[3]{15}\div 2\sqrt[3]{5}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{15}{5}}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{3}$$Esempio di quoziente tra radicali con indice di radice diverso:$$2\sqrt{10}\div 2\sqrt[3]{2}=2\sqrt[6]{10^3}\div 2\sqrt[6]{2^2}=\frac{2}{2}\sqrt[6]{\frac{10^3}{2^2}}=\sqrt[6]{\frac{2^{\not{3}} \cdot5^3}{\not{2^{2}}}}=\sqrt[6]{2\cdot5^3}$$
  • Portare fuori radice
    Consiste nel trascinare una parte o tutto il radicando fuori dal segno di radice per includerlo nel coefficiente del radicale; sarà possibile farlo solo se l'esponente del radicando è uguale o superiore all'indice di radice. Si procede dividendo l'esponente del radicando per l'indice di radice; il quoziente sarà l'esponente con cui la base del radicando figurerà fuori radice mentre il resto sarà l'esponente che avrà la base del radicando che resterà sotto radice.
    Nel caso in cui il resto è zero il radicale scompare; se il radicando fosse un prodotto di potenze sarebbe possibile portere fuori radice anche solo una parte del prodotto.
    Vediamo un esempio; consideriamo il radicale \(\sqrt[3]{81} \) , scomponiamo il radicando ed otteniamo \(\sqrt[3]{3^4} \) . L'esponente del radicando è maggiore dell'indice di radice e quindi per la regola appena scritta possiamo portare una parte del radicando fuori radice; dividiamo l'esponente del radicando per l'indice di radice ed otteniamo \(4\div3= \) quoziente 1 e resto 1 quindi scriviamo \(\sqrt[3]{81}=3^1\sqrt[3]{3^1}= 3\sqrt[3]{3} \). Dimostriamo questa uguaglianza con le regole del prodotto tra radicali:$$\sqrt[3]{3^4}=\sqrt[3]{3\cdot3\cdot3\cdot3}=\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{3\cdot3\cdot3}=\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{27}$$ma la radice cubica di 27 vale 3 quindi otteniamo \(\sqrt[3]{3^4}= 3\sqrt[3]{3} \) come volevasi dimostrare. Vediamo anche un altro esempio; consideriamo il radicale \(\sqrt{144}\), scomponiamo il radicando ed otteniamo \(\sqrt{2^4\cdot3^2} \). Applichiamo la regola effettuando le divisioni tra gli esponenti del radicando e l'indice di radice:
    \(4\div2=\) quoziente 2 resto 0 quindi la base 2 va fuori radice con esponente 2 e sotto radice con esponente 0;
    \(2\div2=\) quoziente 1 e resto zero quindi la base 3 andrà fuori con esponente 1 e sotto radice con esponente 0;
    Otteniamo allora $$\sqrt{144}=\sqrt{2^4\cdot3^2}=2^2\cdot3^1\sqrt{2^0\cdot3^0}=12\sqrt{1\cdot1}=12$$
  • Elevamento a potenza
    Per elevare a potenza un radicale basta elevare a potenza il radicando.
    Vediamo qualche esempio:$$(\sqrt[3]{3^4})^2=\sqrt[3]{(3^4)^2}=\sqrt[3]{3^8}=3^2\sqrt[3]{3^2}$$ oppure $$(5+\sqrt{3})^2=5^2+(\sqrt{3})^2+10\sqrt{3}=25+3+10\sqrt{3}=28+10\sqrt{3}$$e possiamo mettere in evidenza un fattore 2 ottenendo \(2(14+5\sqrt{3}) \).
  • Razionalizzazione
    La razionalizzazione consiste nell'eliminare i radicali dai denominatori delle frazioni; questo è importante perchè semplifica di molto i calcoli tra le frazioni. La razionalizzazione si effettua utilizzando le proprietà dei prodotti notevoli e delle frazioni; infatti per le frazioni possiamo sempre moltiplicare o dividere numeratore e denominatore per una stessa quantità senza alterare il valore della frazione. Moltiplichiamo allora per una quantità che renda il denominatore un prodotto notevole che mi consente di eliminare il radicale.

    a) caso in cui vi è solo una radice quadrata al denominatore ( \( \frac{1}{\sqrt{a}} \) ); in questo caso basta moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per \( \sqrt{a} \) ottenendo \( \frac{1}{\sqrt{a}}\cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^2}}=\frac{\sqrt{a}}{a}\) che non presenta più la radice al denominatore.

    b) caso in cui vi è una radice ennesima al denominatore \( \frac{1}{\sqrt[n]{a}} \); basta moltiplicare numeratore e denominatore per la quantità \( \sqrt[n]{a^{n-1}} \) oppure se fosse stato \( \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}} \) con m < n si poteva moltiplicare numeratore e denominatore per \( \sqrt[n]{a^{n-m}} \) ottenendo al denominatore sempre il valore \( \sqrt[n]{a^n}=a \) .
    Ad esempio $$\frac{2}{\sqrt[5]{2^2}}=\frac{2}{\sqrt[5]{2^2}}\frac{\sqrt[5]{2^{5-2}}}{\sqrt[5]{2^{5-2}}}=\frac{2\sqrt[5]{2^3}}{\sqrt[5]{2^2}\cdot \sqrt[5]{2^3}}=\frac{2\sqrt[5]{2^3}}{\sqrt[5]{2^5}}=\frac{\not{2}\sqrt[5]{2^3}}{\not{2}}=\sqrt[5]{2^3}$$
    c) caso in cui al denominatore vi sono 2 radici quadrate oppure una radice quadrata ed un numero; basta moltiplicare numeratore e denominatore per la somma o la differenza di radici in modo da ottenere al denominatore il prodotto notevole ( somma per differenza ) che ci elimina le radici.
    $$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$$se il denominatore era la somma moltiplicavamo per la differenza; avremmo operato allo stesso modo se una delle due radici fosse sostituita da un numero$$\frac{1}{a-\sqrt{b}}=\frac{1}{a-\sqrt{b}}\frac{a+\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}}=\frac{a+\sqrt{b}}{a^2-(\sqrt{b})^2}=\frac{a+\sqrt{b}}{a^2-b}$$
    d) caso in cui vi sono tre o più radici quadrate al denominatore; in questo caso si dividono le radici in due gruppi e si applica il metodo appena descritto ottenendo ancora almeno una radice quadrata al denominatore. Raggruppiamo di nuovo e riapplichiamo il procedimento; si continua così finchè non si eliminano tutte le radici al denominatore.
    $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{c}}\cdot \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{c}}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(\sqrt{c})^2}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{c}}{[(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}]-c}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{c}}{2\sqrt{ab}+(a+b-c)}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{c}}{2\sqrt{ab}+(a+b-c)}\cdot \frac{2\sqrt{ab}-(a+b-c)}{2\sqrt{ab}-(a+b-c)}=\frac{"""""""}{(2\sqrt{ab})^2-(a+b-c)^2}=.......$$ svolti i quadrati, al denominatore non vi saranno più radici. Ad esempio $$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}}\cdot \frac{(\sqrt{1}+\sqrt{2})-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{[(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+2\sqrt{2}\sqrt{3}]-5}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}+(2+3-5)}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}\cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}\sqrt{5}}{2\sqrt{6^2}}=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{2\cdot6}=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}$$
    e) caso di 2 radici cubiche al denominatore oppure una radice ed un numero; basta moltiplicare per il trinomio che fa diventare il denominatore una somma o una differenza di cubi.
    $$\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}=\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}\cdot \frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}{(\sqrt[3]{a})^3+(\sqrt[3]{b})^3}=\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}{a+b}$$Se fosse stata la differenza di radici cubiche al denominatore bastava scegliere il trinomio relativo alla differenza di cubi. Vediamo un esempio$$\frac{1}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}\cdot \frac{\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3}}=\frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}}{(\sqrt[3]{2})^3-(\sqrt[3]{3})^3}=\frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}}{-1}=-\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}$$
Diamo adesso delle formule importanti per la risoluzione dei radicali doppi; essi sono radicali che hanno per radicando somma o differenza tra un numero ed un altro radicale.
$$\star) \sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$$
$$\star \star )\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$$Queste formule sono molto utili quando abbiamo dei radicali doppi dove la quantità \( a^2-b \) rappresenta un quadrato perfetto. Vediamo un esempio$$\sqrt{11+\sqrt{21}}=\sqrt{\frac{11+\sqrt{11^2-21}}{2}}+\sqrt{\frac{11-\sqrt{11^2-21}}{2}}=\sqrt{\frac{11+\sqrt{121-21}}{2}}+\sqrt{\frac{11-\sqrt{121-21}}{2}}=\sqrt{\frac{11+\sqrt{100}}{2}}+\sqrt{\frac{11-\sqrt{100}}{2}}=\sqrt{\frac{11+10}{2}}+\sqrt{\frac{11-10}{2}}=\sqrt{\frac{21}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{21}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{42}}{2}$$
Possiamo sfruttare queste conoscenze per risolvere le equazioni, le disequazioni ed i sistemi con coefficienti irrazionali, ricordando che se sotto radice si trova un parametro letterale bisogna introdurre la condizione che il radicando deve essere \( \geq0 \).
Vediamo qualche esempio.
Risolviamo l'equazione \( x+\sqrt{2}x+2-\sqrt[3]{3}=0 \) portiamo a destra i termini senza incognita $$ x+\sqrt{2}x=-2+\sqrt[3]{3}$$ora mettiamo in evidenza la x ottenendo $$ (1+\sqrt{2})x=-2+\sqrt[3]{3}$$ricaviamo la x $$ x=\frac{-2+\sqrt[3]{3}}{1+\sqrt{2}}=\frac{-2+\sqrt[3]{3}}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{-2+2\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{3}\sqrt{2}}{1-2}=\frac{-2+2\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{3}\sqrt{2}}{-1}=2-2\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3}\sqrt{2}$$Consideriamo adesso la disequazione \( \sqrt{a}x+2-\sqrt{3}> 0 \); per prima cosa poniamo l'argomento della radice maggiore o uguale a 0 cioè ( \( a\geq0 \) ), in queste condizioni otteniamo \( \sqrt{a}x>-2+\sqrt{3} \). Notiamo adesso che il secondo membro dell'equazione è negativo quindi quando a=0 la disequazione è verificata per ogni x mentre quando \( a>0 \) la disequazione è verificata per \( x>\frac{-2+\sqrt{3}}{\sqrt{a}} \) il caso a< 0 non è possibile per la condizione di realtà della radice.


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