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Algebra

Numeri Reali, Radicali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

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Geometria

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Numeri Immaginari e numeri Complessi


Come vediamo nello studio dei radicali e delle equazioni di secondo grado ci troviamo spesso difronte a radici di numeri negativi e siamo costretti a dire che la radice non ha significato e l'equazione ( Δ <0 ) non ammette soluzione. Tutte queste difficoltà hanno portato i matematici a cercare di ampliare l'insieme dei numeri reali in modo da rendere interna anche l'operazione di estrazione di radice. Fu così introdotta quella che è chiamata l'unità immaginaria (i) che equivale alla radice quadrata di -1; infatti ogni radice di un numero negativo e pari alla radice dello stesso numero positivo moltiplicata per la radice di -1 ( \( \sqrt{-a}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{a}\cdot i \).Quindi siamo adesso in grado di svolgere le radici di quantità negative; vediamo un esempio:
consideriamo l'equazione \(x^2+9=0 \rightarrow x^2=-9 \rightarrow x=\pm\sqrt{-9}=\pm\sqrt{9}\sqrt{-1}=\pm3i \)

In pratica quando il Δ dell'equazione è negativo, la formula per le soluzioni dell'equazione diventa \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}i}{2a} \)

L'insieme dei numeri costituiti dal prodotto tra un coefficiente numerico reale e l'unità immaginaria i viene detto insieme dei numeri immaginari e per essi si opera come fossero monomi; l'unica differenza è data dalla potenza di un numero immaginario. Infatti le potenze dell'unità immaginari formano un insieme chiuso di quattro valori che sono {1 , i , -1 , -i} che si ripetono ordinatamente all'aumentare dell'esponente infatti si ha:
\( i^0=1 \) come per ogni numero per definizione;
\( i^1=i \)
\( i^2=-1 \)
\( i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i \)
\( i^4=i^2\cdot i^2=-1\cdot(-1)=1 \)
e così via. Questi numeri immaginari concorrono alla formazione di un nuovo insieme numerico.

Numeri Complessi

L'insieme dei numeri complessi ( ℂ ) è costituito dai numeri costituiti dalla somma algebrica di un numero reale ed un numero immaginario; essi sono del tipo \( a+bi \) dove a è la parte reale, i è la parte immaginaria e b rappresenta il coefficiente della parte immaginaria.

Come tutti gli ampliamenti degli insiemi numerici anche per l'insieme dei numeri complessi risulta che gli insiemi Reale ed Immaginario sono sottoinsiemi e che le proprietà delle operazioni che valevano nei sottoinsieme valgono ancora nel nuovo insieme.
L'insieme reale ( ℝ ) è costituito dai numeri complessi per i quali il coefficiente della parte immaginaria è nullo; l'insieme immaginario ( \( \mathbb{I} \) ) è costituito dai numeri complessi per i quali la parte reale è nulla.

Due numeri complessi si dicono coniugati quando hanno le parti reali uguali ed i coefficienti delle parti immaginarie opposti.

Sono invece uguali quando hanno uguali sia la parte reale che il coefficiente della parte immaginaria.
L'unica differenza sostanziale tra l'insieme complesso e quello reale è che il primo non è ordinato, cioè dati due numeri complessi non è possibile stabilire quale sia il maggiore, a differenza dei numeri reali che avevano una corrispondenza biunivoca con i punti della retta.
Vediamo qualche esempio di operazione tra numeri complessi; in generale vengono trattati come binomi.

Esempio

Consideriamo i due numeri complessi (2+3i) e (1-2i) ed effettuiamo la loro somma, il prodotto , il quoziente del primo diviso il secondo e la potenza terza del secondo numero.

Somma \( (2+3i)+(1-2i)=2+3i+1-2i=3+i \) trattando i come una semplice lettera.

Prodotto \( (2+3i)\cdot (1-2i)=2-4i+3i-6i^2=2-i+6=8-i \) dove abbiamo sfruttato la relazione \( i^2=-1 \).

Quoziente \( \frac{2+3i}{1-2i}=\frac{2+3i}{1-2i}\cdot \frac{1+2i}{1+2i}=\frac{(2+3i)(1+2i)}{1-4i^2}=\frac{2+4i+3i+6i^2}{5}=\frac{-4+7i}{5} \) dove abbiamo applicato un procedimento analogo a quello della razionalizzazione per eliminare la parte immaginaria dal denomintore.

Potenza \( (1-2i)^3=1-8ì^3-6i+12i^2=1+8i-6i-12=-11+2i \) dove abbiamo sfruttato che \( i^2=-1 \textrm{ e } i^3=-i \).




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