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Algebra

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Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Introduzione alle Matrici

Una matrice è una tabella di numeri disposti secondo righe e colonne; si indica con le lettere maiuscole e il numero di righe e colonne ne inica l'ordine. Cioè diremo che una matrice con 2 righe e tre colonne ha ordine 2x3 ( 2 per tre ). I numeri di questa tabella sono chiamati elementi della matrice.$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... &a_{1m} \\ a_{21}& a_{22} &... &a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nm} \end{pmatrix} $$Questa rappresenta una matrice che ha n righe ed m colonne e quindi ordine pari a \( n\times m \). Il generico elemento \( a_{ij} \) si troverà allora nella riga i-esima e nella colonna j-esima cioè diremo che i è l'indice di riga e j l'indice di colonna dell'elemento ( ad esempio l'elemento \( a_{23} \) si troverà nella seconda riga e terza colonna ). Vi sono alcune matrici che sono costituite da una sola riga o una sola colonna, esse sono dette rispettivamente matrice riga e matrice colonna; anche un solo numero può essere interpretato come matrice costituita da una sola riga ed una sola colonna. Quando accade che una matrice abbia il numero di righe pari al numero di colonne, parleremo di matrice quadrata; per essa si definisce l'ordine di matrice, non come prodotto tra numero di righe e colonne ma semplicemente col numero di righe (= numero colonne ) cioè una matrice quadrata con tre righe e tre colonne non ha ordine 3X3 ma diremo semplicemente una matrice quadrata di ordine tre specificando che è quadrata. Proprio grazie al suo essere quadrata anche graficamente introduciamo il concetto di diagonale.

Si definisce diagonale principale quella i cui elementi hanno indici di riga e colonna uguali.

Si definisce diagonale secondaria quella i cui gli elementi hanno indice di riga che si ottiene sottraendo al numero di righe l'indice di colonna ed aumentando il risultato di 1 cioè i=n-j+1.

Spesso è opportuno associare ad una matrice quadrata un numero chiamato determinante della matrice e si calcola in base agli elementi della matrice stessa.
Vediamo adesso come si calcola questo determinante; daremo il procedimento per una matrice di ordine due per quelle di ordine tre ed infine una regola generale per le matrici di ordine maggiore o uguale a 3 ( il determinante di una matrice di ordine 1 è il valore dell'unico elemento della matrice ).

Determinante di una matrice di ordine due

Il determinante di una MATRICE di ordine 2 è dato dalla differenza tra il prodotto degli elementi della diagonale principale meno il prodotto degli elementi della diagonale secondaria.
Consideriamo la generica matrice quadrata di ordine 2 $$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \end{pmatrix}$$Il suo determinante varrà$$detA=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$$Facciamo adesso un esempio numerico; calcoliamo il determinante della matrice quadrata B$$B=\begin{pmatrix} 4 &3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$otteniamo$$detB=\begin{vmatrix} 4 &3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=4\cdot1-2\cdot3=4-6=-2$$

Determinante di una matrice di ordine tre

Il determinante di una MATRICE di ordine 3 lo calcoliamo con la regola di Sarrus.
Procediamo come segue:
riscriviamo le prime due colonne di sinistra a destra della matrice;
sommiamo i prodotti degli elementi della diagonale principale e di quelle ad essa parallele;
sommiamo i prodotti degli elementi della diagonale secondaria e di quelle ad essa parallele;
sottraiamo la seconda somma alla prima ed otteniamo il valore del determinante.

Consideriamo la matrice quadrata di ordine 3 $$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} \\ a_{21} & a_{22} &a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$ il suo determinante sarà$$detA=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} \\ a_{21} & a_{22} &a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=$$riscriviamo le prima due colonne$$\begin{matrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} \\ a_{21} & a_{22} &a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \end{matrix}=[(a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33})+(a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31})+(a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32})]-[(a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13})+(a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11})+(a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12})]$$In alternativa, senza riscrivere le colonne, potremmo:
  • sommare il prodotto degli elementi della diagonale principale ai prodotti degli elementi che sono vertici dei triangoli con base parallela alla diagonale principale stessa ( in rosso in figura )
  • sommare il prodotto degli elementi della diagonale secondaria ai prodotti degli elementi che sono vertici dei triangoli con base parallela alla diagonale secondaria stessa ( in blu in figura )
  • sottrarre alla prima somma la seconda per ottenere il determinante

    • I due metodi portano esattamente alla stessa formula; si evita soltanto di riscrivere le colonne utilizzando questo metodo visivo.

      Vediamo adesso un esempio numerico; consideriamo la matrice quadrata, di ordine tre, B$$ B=\begin{pmatrix} 1 & 2 &1 \\ -1& 3& 2\\ 0& 2 & 4 \end{pmatrix}$$Calcoliamo il suo determinante$$detB=\begin{matrix} \begin{vmatrix} 1 & 2 &1 \\ -1& 3& 2\\ 0& 2 & 4 \end{vmatrix}& \begin{matrix} 1 &2 \\ -1& 3\\ 0& 2 \end{matrix} \end{matrix}=[(1\cdot3\cdot4)+(2\cdot2\cdot0)+(1\cdot-1\cdot2)]-[(0\cdot3\cdot1)+(2\cdot2\cdot1)+(4\cdot-1\cdot2)]=(12+0-2)-(0+4-4)=10-0=10$$

Prima di dare la formula generale per il calcolo dei determinanti è importante richiamare alcune definizioni:
  • sottomatrice
    Data una matrice A, si definisce sottomatrice di A ogni matrice che si ottiene da A eliminando una o più righe e/o una o più colonne.Le sottomatrici si chiamano anche matrici estratte.
    Consideriamo la matrice$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 &1 \\ 2 & -1 & 3 & 3\\ 1 & 0 &2 & 0 \end{pmatrix}$$ Sono sottomatrici di A ad esempio:$$A'=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 &2 \end{pmatrix} \ \ \ \ A''=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 &1 \end{pmatrix}$$dove la prima è ottenuta eliminando la seconda riga e la quarta colonna mentre la seconda matrice estratta si ottiene eliminando seconda e terza riga di A. (sono sottomatrici anche i singoli elementi intesi come matrice di ordine 1.

  • minore
    Data una matrice A, si definisce minore di A ogni sottomatrice quadrata di A.
    Considerando la matrice dell'esempio precedente ed estraiamo le sottomatrici$$A'=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \ \ \ \ A''=\begin{pmatrix} 1 & 0 &1 \\ 2 & 3 & 3\\ 1 &2 & 0 \end{pmatrix}$$ottenute rispettivamente eliminando da A:
    per \( A' \) la seconda riga e le colonne terza e quarta;
    per \( A'' \) la seconda colonna.

  • minore complementare
    Data una matrice A quadrata , si definisce minore complementare di un elemento di A il determinante del minore ottenuto eliminando la riga e la colonna che contengono l'elemento ( esso si indica, per l'elemento di riga i e colonna j, con \( M_{ij} \) oppure con \( K_{ij} \) dove K va sostituito col nome della matrice ). N.B. Si parla di minore complementare solo per gli elementi di una matrice quadrata perché se la matrice di partenza non fosse quadrata eliminando una riga ed una colonna otterremmo solo una sottomatrice e non un minore

    Consideriamo la matrice $$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 &1 \\ 2 & 3 & 3\\ 1 &2 & 0 \end{pmatrix}$$Il minore complementare relativo all'elemento \( a_{12} \) è quindi il determinante del minore estratto da A eliminando la prima riga e la seconda colonna.$$M_{12}=\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \end{vmatrix}=2\cdot0-1\cdot3=-3$$
  • complemento algebrico
    Data una matrice A, si definisce complemento algebrico di un elemento di A il prodotto tra il suo minore complementare ed il valore (-1) elevato alla somma degli indici di riga e colonna dell'elemento considerato.
    Considerando allora la matrice dell'esempio precedente diremo che il complemento algebrico del''elemento \( a_{12} \) è uguale al minore complementare ad esso relativo moltiplicato per \( (-1)^{1+2} \) quindi

    minore complementare di \( a_{12} \) \(= (-1)^{1+2} \cdot M_{12}=-1\cdot M_{12}=-M_{12}=-(-3)=3 \)

    Il termine \( (-1)^{i+j} \) influenza solo il segno del complemento algebrico; in pratica se la somma degli indici è pari il complemento algebrico di un elemento ha lo stesso segno del minore complementare relativo allo stesso elemento mentre se la somma degli indici è dispari il complemento algebrico avrà segno opposto.

Primo teorema di Laplace (Regola generale per calcolare i determinanti di matrici di ordine n > 2 )

Data una matrice quadrata A, il suo determinante si calcola come somma dei prodotti tra gli elementi di una riga ( o di una colonna ) per i rispettivi complementi algebrici.

Questo teorema ci da quindi la possibilità di scegliere una riga o una colonna con più zeri in modo che la formula del determinante sia più semplice; infatti per gli zeri possiamo evitare il calcolo dei complementi algebrici visto che andrebbero moltiplicati per zero non dando nessun apporto al determinante. Inoltre questa formula può essere applicata più volte quindi ad esempio per una matrice di ordine 5 scegliamo una riga o una colonna e calcoliamo i prodotti tra gli elementi ed i complementi algebrici; per calcolare ogni complemento algebrico dobbiamo però calcolare il determinante dei minori di quarto grado ma per farlo possiamo riapplicare il teorema di Laplace.
Vediamo un esempio; consideriamo la matrice quadrata di quinto grado$$A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 & 0 &1 \\ 2 & 3 & -1 & -1 &0 \\ 0& 0 & 0 &2 &1 \\ 0 & 3 & 1 &0 &-2 \\ 4& 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$Calcoliamo il suo determinante con il teorema di Laplace. Osserviamo che la terza riga e la prima e terza colonna hanno tre zeri su cinque elementi; utilizziamo una di esse per il calcolo dei determinanti. Ad esempio per la terza riga si ha:$$detA=0\cdot (-1)^{3+1}\cdot A_{31}+0\cdot (-1)^{3+2}\cdot A_{32}+0\cdot (-1)^{3+3}\cdot A_{33}+2\cdot (-1)^{3+4}\cdot A_{34}+1\cdot (-1)^{3+5}\cdot A_{35}=$$Calcoliamo prima i minori complementari degli elementi \( a_{34} \textrm{ e } a_{35} \) ; lo faremo ancora con Laplace:$$A_{34}=\begin{vmatrix} 0 & 2 & 3 &1 \\ 2 & 3 & -1 &0 \\ 0 & 3 & 1 &-2 \\ 4& 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}=2\cdot(-1^{2+1})\cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 &1 \\ 3 & 1 &-2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}+4\cdot(-1)^{4+1}\cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 &1 \\ 3 & -1 &0 \\ 3 & 1 &-2 \ \end{vmatrix}=-2\cdot[(2+0+3)-(0+9-4)]-4\cdot[(4+3+0)-(-3+0-18)]=-2\cdot0-4\cdot28=-112$$avendo applicato Laplace alla prima colonna;$$A_{35}=\begin{vmatrix} 0 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & 1 &0 \\ 4& 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}=-1\cdot(-1)^{2+4}\cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4& 0 & 1 \end{vmatrix}=-1\cdot1\cdot[(0+8+0)-(36+0+0)]=-1\cdot(-28)=28$$avendo applicato Laplace alla quarta colonna. Scrivo adesso il determinante della matrice A $$detA=2\cdot (-1)^{3+4}\cdot A_{34}+1\cdot (-1)^{3+5}\cdot A_{35}=-2\cdot(-112)+1\cdot(28)=252$$

Vediamo adesso alcune proprietà del determinante:
  • Se una riga o una colonna di una matrice è costituita da tutti zeri allora il suo determinante è zero.
    Questo lo si ottiene semplicemente dal teorema di Laplace infatti prendendo in considerazione quella riga o colonna otterremmo che il determinante è pari alla somma di prodotti tutti nulli visto che in ognuno c'è un fattore nullo.

  • Se in una matrice quadrata due righe o due colonne sono uguali il suo determinante è nullo..
    Infatti potremmo sempre sottrarre una riga all'altra ( lo stesso per le colonne ) ottenendo una riga nulla; quindi il determinante è zero per la proprietà precedente.

  • Se in una matrice quadrata due righe o due colonne sono uguali il suo determinante è nullo.
    Infatti potremmo sempre sottrarre una riga all'altra ( lo stesso per le colonne ) ottenendo una riga nulla; quindi il determinante è zero per la proprietà precedente.

  • Se in una matrice quadrata due righe o due colonne sono proporzionali il determinante è nullo.
    Infatti potremmo sempre moltiplicare una delle due righe per un coefficiente k ( lo stesso per le colonne ) in modo da ottenere due righe uguali; quindi il determinante è zero per la proprietà precedente.

  • Se in una matrice quadrata una riga ( una colonna ) è uguale alla combinazione lineare di altre due righe
    ( colonne ) il determinante della matrice è nullo
    .
    Infatti potremmo sempre moltiplicare una delle le due righe per dei coefficiente k e k' ( lo stesso per le colonne ) in modo da ottenere due righe che sommate ne diano una terza uguale ad un'altra già presente nella matrice; quindi il determinante è zero per una delle proprietà precedenti.

Rango di una matrice

Data una matrice A, si definisce rango di A ( e si indica con r(A) ) l'ordine della matrice se il suo determinante è diverso da zero oppure l'ordine del minore più grande che abbia determinante non nullo

Per la sua definizione il rango di una matrice è un numero intero che va da 0 al al numero più basso tra quello delle righe e delle colonne della matrice stessa; infatti per una matrice non quadrata non esiste il determinante ed inoltre non è possibile estrarre da essa un minore di ordine più grande del numero più basso tra quello delle righe e delle colonne.
Dire allora che una matrice A ha rango r significa che:

a) esiste almeno un minore A' di ordine r tale che il determinante di A' sia diverso da zero;

b) se esistono minori di A di ordine maggiore di r allora essi hanno determinante nullo.




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