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Algebra

Insiemi Numerici Le Potenze I Monomi I Polinomi Prodotti Notevoli Divisione tra Polinomi Scomposizione di Polinomi m.c.m. M.C.D. Frazioni Algebriche Equazioni I grado Equazioni fratte Equazioni letterali Equazioni ai moduli Problemi di I grado Sistemi di I grado Metodi risolutivi Sistemi Metodo di Sostituzione Metodo di riduzione Metodo del confronto Metodo di Cramer Cenni sulle Matrici Studio sistemi indeterminati Valutazione sistemi impossibili Disequazioni di I grado Disequazioni letterali Sistemi di Disequazioni Disequazioni fratte Disequazioni scomponibili Disequazioni ai moduli

Analisi

Definizione di Relazione Definizione di Funzione

Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Insiemi numerici

Insieme dei Numeri Naturali

L'insieme dei numeri naturali è costituito da tutti i numeri interi positivi più lo zero.

N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,.............}

Passiamo ora a definire le operazioni possibili in questo insieme: esse possono essere interne o esterne.
Una operazione si dice interna all'insieme se il suo risultato appartiene all'insieme stesso;diversamente se il risultato non appartiene all'insieme di origine si definisce l'operazione come esterna.

-Addizione (si indica con il simbolo "+" el il suo risultato si chiama somma).
Poichè la somma di due numeri interi positivi è ancora un intero positivo diremo che l'addizione è una operazione interna all'insieme dei numeri naturali. Il numero "0" gode per questa operazione di una particolarità: sommando "0" ad ogni numero naturale si ottiene il numero stesso. Definiamo allora il numero "0" elemento neutro per l'operazione di addizione (lo "0" conserva questa proprietà in tutti gli insiemi numerici).

-Moltiplicazione(si indica con il simbolo "x" oppure ".";il risultato è chiamato prodotto).
Il prodotto di due numeri interi positivi è ancora un intero positivo; quindi la moltiplicazione è interna all'insieme dei numeri naturali. L'elemento "1" è elemento neutro della Moltiplicazione (la proprietà è conservata in tutti gli insiemi numerici) infatti moltiplicando un numero per "1" si ottiene il numero stesso. Lo zero invece si definisce elemento assorbente della moltiplicazione (proprietà conservata in tutti gli insiemi numerici) infatti assorbe tutti i numeri per i quali viene moltiplicato e da prodotto "0".

-Sottrazione(si indica con il simbolo "-"; il risultato è chiamato differenza).
La differenza tra due numeri interi positivi è ancora un numero intero ma non per forza positivo( 4-5=-1); quindi la sottrazione è esterna all'insieme dei numeri naturali oppure si può dire che quest'ultimo non è chiuso all'operazione di sottrazione.

-Divisione(si indica con il simbolo ":"; il risultato è chiamato quoziente).
Il quoziente tra due numeri interi positivi è ancora un numero positivo ma non per forza intero( 4/5=0,8); quindi la divisione è esterna all'insieme dei numeri naturali oppure si può dire che quest'ultimo non è chiuso all'operazione di divisione.

Insieme dei Numeri Relativi

L'insieme dei numeri relativi nasce dalla necessità di ampliare i numeri naturali per rendere interna l'operazione di sottrazione; esso è costituito da tutti i numeri interi più lo zero.

Z={..........,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,.............}

-Addizione e sottrazione nell'insieme dei numeri relativi sono quasi la stessa operazione, infatti l'addizione di due numeri di segno opposto ha come risultato la differenza tra il più grande ed il più piccolo con il segno del più grande; altresì la sottrazione tra due numeri di segno opposto ha come risultato la somma dei due con il segno del primo numero. Adesso la sottrazione è interna all'insieme; lo zero è il suo elemento neutro infatti sottraendo "0" ad un qualsiasi numero si ottiene il numero stesso.

-La moltiplicazione è interna all'insieme. Il segno del prodotto tra due numeri è negativo se i numeri di partenza hanno segni discordi; positivo se i numeri di partenza hanno segni concordi.

-La divisione è esterna perchè il quoziente può non essere intero. Introducendo il concetto di resto è interna ed il segno del quoziente si calcola con lo stesso criterio di quello del prodotto.

Insieme dei Numeri Razionali

L'insieme dei numeri razionali nasce dalla necessità di ampliare i numeri relativi per rendere interna l'operazione di divisione; esso è costituito da tutto l'insieme dei numeri relativi più tutte le possibili espressioni frazionarie tra due numeri relativi di cui il secondo non sia "0". In questo insieme tutte le quattro operazioni fondamentali sono interne; in particolare come risultato della divisione tra 2 numeri è assegnata la frazione tra i numeri stessi restando impossibile la divisione di un numero per zero.
La frazione è composta da due numeri divisi da una linea orizzontale: il numero sopra la linea si chiama numeratore, quello sotto la line denominatore mentre la linea stessa si chiama "linea di frazione".

N.B. un numero intero è una particolare frazione con denominatore uguale a 1 oppure con numeratore multiplo del denominatore. Effettuando la divisione tra numeratore e denominatore si ottiene di solito un numero decimale ( con la virgola ) che può essere :

a) decimale limitato; cioè ha un numero finito di cifre dopo la virgola ( ad esempio \( \frac{11}{4}=2,75 \) ).

b) decimale periodico semplice; cioè ha un numero finito di cifre dopo la virgola ma che si ripetono indefinitamente ( ad esempio \( \frac{10}{3}=3,\bar{3} \) dove il trattino individua il periodo del decimale ).

c) decimale periodico misto; cioè ha un numero finito di cifre dopo la virgola che non si ripetono e poi una parte periodica ( ad esempio \( \frac{1}{6}=0,1\bar{6} \) dove la cifra che non si ripete è chiamata antiperiodo ).

Si può allo stesso modo tornare anche indietro cioè trasformare un numero decimale in una frazione; in base al tipo di decimale si costruisce la frazione in modo diverso.

1) se il numero è un decimale limitato, la frazione generatrice ha per numeratore il numero stesso scritto senza la virgola e per denominatore l'unità seguita da tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola( ad esempio il numero 3,125 ha come frazione generatrice ( \( \frac{3125}{1000} \) ).

2) se il numero è un decimale periodico semplice, la frazione generatrice avrà per numeratore la differenza tra il numero stesso scritto senza la virgola e la sua parte intera mentre al denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo. Ad esempio:$$13,\bar{5}=\frac{135-13}{9} \textrm{ oppure } 2,\bar{23}=\frac{223-2}{99}$$ 3) se il numero è un decimale periodico misto, la frazione generatrice avrà per numeratore la differenza tra il numero stesso, scritto senza virgola, e la parte che precede il periodo (cioè parte intera ed antiperiodo ) mentre al denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo. Ad esempio:$$1,24\bar{1}=\frac{1241-124}{900} \textrm{ oppure } 2,3\bar{52}=\frac{2352-23}{990}$$ Vediamo il concetto di equivalenza e come si effettuano addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione tra frazioni. Due frazioni sono equivalenti se è possibile trasformarle l'una nell'altra moltiplicando e dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero.
Consideriamo ad esempio la frazione \( \frac{14}{28} \) ; ed osserviamo: $$\frac{14\div2}{28\div2}=\frac{7}{14}= \textrm{ dividendo per 7 }=\frac{1}{2}$$ -L'addizione e la sottrazione tra due frazioni sono diverse se le due hanno lo stesso denominatore oppure no. Nel caso dello stesso denominatore il risultato sarà una frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma o la differenza dei numeratori.Se i denominatori sono diversi devo prima ottenere due frazioni equivalenti alle prime che hanno pero lo stesso denominatore. Nella pratica trovo il minimo comune multiplo(m.c.m.) tra i denominatori che sarà poi il denominatore del risultato, poi moltiplico ogni numeratore per il quoziente fra il m.c.m. ed il rispettivo denominatore;a questo punto eseguo l'addizione o la sottrazione fra i numeratori ed ottengo il numeratore del risultato.$$\frac{1}{2}+\frac{2}{5}=\frac{.....}{10}=\frac{1\cdot(10\div2)+2\cdot(10\div5)}{10}=\frac{5+4}{10}=\frac{9}{10}$$ -La moltiplicazione tra due frazioni si effettua moltiplicando numeratore con numeratore e denominatore con denominatore.$$\frac{3}{5}\cdot \frac{7}{2}=\frac{3\cdot7}{5\cdot2}=\frac{21}{10}$$ -La divisione tra due frazioni si effettua moltiplicando la prima frazione per la seconda capovolta cioè con numeratore e denominatore invertiti.$$\frac{1}{2}\div \frac{3}{8}=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{3}=\frac{\not{8}}{\not{6}}=\frac{4}{3}$$



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