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Algebra

Insiemi Numerici Le Potenze I Monomi I Polinomi Prodotti Notevoli Divisione tra Polinomi Scomposizione di Polinomi m.c.m. M.C.D. Frazioni Algebriche Equazioni I grado Equazioni fratte Equazioni letterali Equazioni ai moduli Problemi di I grado Sistemi di I grado Metodi risolutivi Sistemi Metodo di Sostituzione Metodo di riduzione Metodo del confronto Metodo di Cramer Cenni sulle Matrici Studio sistemi indeterminati Valutazione sistemi impossibili Disequazioni di I grado Disequazioni letterali Sistemi di Disequazioni Disequazioni fratte Disequazioni scomponibili Disequazioni ai moduli Numeri Reali, Radicali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

Frazioni algebriche

Le frazioni algebriche sono frazioni i cui numeratori e denominatori sono costituiti da polinomi

Per le frazioni algebriche valgono le stesse regole delle frazioni numeriche e sono definite le stesse operazioni e nello stesso modo.

Equivalenza tra frazioni algebriche

Due o pi frazioni algebriche sono equivalenti se una volta ridotte ai minimi termini sono uguali.

Consideriamo, ad esempio le seguenti frazioni algebriche:$$\frac{a^2-4a+4}{a^2-4} ; \frac{3a-6}{3a+6}$$scomponiamole entrambe ed otteniamo $$\frac{a^2-4a+4}{a^2-4}=\frac{(a-2)^{\not{2}}}{(a+2)\cdot \not{(a-2)}}=\frac{a-2}{a+2}$$ $$\frac{3a-6}{3a+6}=\frac{\not{3}\cdot(a-2)}{\not{3}(a+2)}=\frac{a-2}{a+2}$$Le due frazioni ridotte ai minimi termini sono uguali quindi esse erano equivalenti.

Addizione e sottrazione tra frazioni algebriche

Per calcolare la somma(differenza) tra due frazioni algebriche si calcola prima il m.c.m. tra i denominatori, poi lo si divide per il primo denominatore e si moltiplica il risultato per il primo numeratore, si fa lo stesso con il secondo denominatore e secondo numeratore, si sommano(sottraggono) i due risultati e questa somma(differenza) rappresenta il numeratore della frazione risultato; il denominatore di questa ultima il m.c.m. prima calcolato. A questo punto serve solo ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta per completare l'operazione.
Vediamo un esempio della somma; consideriamo le due frazioni$$\frac{a^2+a+1}{a+2} ; \frac{-a^3-3}{a^2-4}$$Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori; per fare questo scomponiamo il secondo denominatore \( a^2-4=(a+2)\cdot(a-2) \) ed otteniamo

m.c.m.\(=(a+2)\cdot(a-2) \)

Dividiamo adesso il m.c.m. per il primo denominatore e moltiplichiamo il risultato per il primo numeratore:$$[(a+2)\cdot(a-2)\div(a+2)]\cdot(a^2+a+1)=(a-2)\cdot(a^2+a+1)=a^3+a^2+a-2a^2-2a-2=a^3-a^2-a-2$$ Dividiamo adesso il m.c.m. per il secondo denominatore e moltiplichiamo il risultato per il secondo numeratore:$$[(a+2)\cdot(a-2)\div(a^2-4)]\cdot(-a^3-3)=1\cdot(-a^3-3)=-a^3-3$$ Sommiamo adesso i due risultati e poniamoli come numeratore della frazione risultato che ha il m.c.m. come denominatore:$$\frac{a^3-a^2-a-2+(-a^3-3)}{(a+2)\cdot(a-2)}=\frac{a^3-a^2-a-2-a^3-3}{(a+2)\cdot(a-2)}=\frac{-a^2-a-5)}{(a+2)\cdot(a-2)}$$Vediamo adesso una differenza tra due frazioni algebriche. $$\frac{a+1}{a-1}-\frac{a^2+1}{a}=\frac{a\cdot(a+1)-(a-1)\cdot(a^2+1)}{a\cdot(a-1)}=\frac{a^2+a-(a^3+a-a^2-1)}{a\cdot(a-1)}=\frac{a^2+a-a^3-a+a^2+1)}{a\cdot(a-1)}=\frac{-a^3+2a^2+1}{a\cdot(a-1)}$$

Moltiplicazione tra frazioni algebriche

Il prodotto tra due frazioni algebriche una nuova frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

Prima di effettuare il calcolo conveniente verificare se le frazioni si possono semplificare; per due frazioni implicate in una moltiplicazione si possono semplificare i termini uguali anche tra numeratore di una frazione e denominatore dell'altra.
Vediamo un esempio:$$\frac{(a+1)^2}{a^2+b+3}\cdot \frac{3a^2+3b+9}{a+1}=\frac{(a+1)^2}{a^2+b+3}\cdot \frac{3(a^2+b+3)}{a+1}=$$semplificando otteniamo \(3(a+1) \)

Divisione tra frazioni algebriche

Il quoziente tra due frazioni algebriche una nuova frazione uguale a quella ottenuta dal prodotto tra la frazione dividendo e l'inverso della frazione divisore.

Quando ci troviamo davanti ad una divisione dobbiamo, quindi, semplicemente trasformarla in un prodotto capovolgendo la frazione divisore.$$\frac{(a+1)^2}{a^2+b}\div \frac{a+1}{3a^2+3b}=\frac{(a+1)^2}{a^2+b}\cdot \frac{3(a^2+b)}{a+1}=3\cdot(a+1)$$Importante ricordare che il simbolo di divisione pu essere sostituito da una linea di frazione e che quando si capovolge una frazione, lo si deve fare al livello del simbolo pi vicino.Vediamo qualche esempio:

\( \frac{2}{5}\div7=\frac{\frac{2}{5}}{7}= \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{7}=\frac{2}{35} \) Sarebbe stato un errore capovolgere la frazione come \( \frac{\frac{2}{5}}{7}\neq 2\cdot \frac{7}{5}=\frac{14}{5} \)

Potenza di una frazione algebrica

La potenza di grado n di una frazione algebrica pari ad una nuova frazione che ha gli stessi numeratore e denominatore ma entrambi elevati alla potenza ennesima.$$(\frac{a+1}{a-2})^3=\frac{(a+1)^3}{(a-2)^3}$$



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