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Algebra

Insiemi Numerici Le Potenze I Monomi I Polinomi Prodotti Notevoli Divisione tra Polinomi Scomposizione di Polinomi m.c.m. M.C.D. Frazioni Algebriche Equazioni I grado Equazioni fratte Equazioni letterali Equazioni ai moduli Problemi di I grado Sistemi di I grado Metodi risolutivi Sistemi Metodo di Sostituzione Metodo di riduzione Metodo del confronto Metodo di Cramer Cenni sulle Matrici Studio sistemi indeterminati Valutazione sistemi impossibili Disequazioni di I grado Disequazioni letterali Sistemi di Disequazioni Disequazioni fratte Disequazioni scomponibili Disequazioni ai moduli

Analisi

Definizione di Relazione Definizione di Funzione

Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Frazioni algebriche

Le frazioni algebriche sono frazioni i cui numeratori e denominatori sono costituiti da polinomi

Per le frazioni algebriche valgono le stesse regole delle frazioni numeriche e sono definite le stesse operazioni e nello stesso modo.

Equivalenza tra frazioni algebriche

Due o pi frazioni algebriche sono equivalenti se una volta ridotte ai minimi termini sono uguali.

Consideriamo, ad esempio le seguenti frazioni algebriche:$$\frac{a^2-4a+4}{a^2-4} ; \frac{3a-6}{3a+6}$$scomponiamole entrambe ed otteniamo $$\frac{a^2-4a+4}{a^2-4}=\frac{(a-2)^{\not{2}}}{(a+2)\cdot \not{(a-2)}}=\frac{a-2}{a+2}$$ $$\frac{3a-6}{3a+6}=\frac{\not{3}\cdot(a-2)}{\not{3}(a+2)}=\frac{a-2}{a+2}$$Le due frazioni ridotte ai minimi termini sono uguali quindi esse erano equivalenti.

Addizione e sottrazione tra frazioni algebriche

Per calcolare la somma(differenza) tra due frazioni algebriche si calcola prima il m.c.m. tra i denominatori, poi lo si divide per il primo denominatore e si moltiplica il risultato per il primo numeratore, si fa lo stesso con il secondo denominatore e secondo numeratore, si sommano(sottraggono) i due risultati e questa somma(differenza) rappresenta il numeratore della frazione risultato; il denominatore di questa ultima il m.c.m. prima calcolato. A questo punto serve solo ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta per completare l'operazione.
Vediamo un esempio della somma; consideriamo le due frazioni$$\frac{a^2+a+1}{a+2} ; \frac{-a^3-3}{a^2-4}$$Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori; per fare questo scomponiamo il secondo denominatore \( a^2-4=(a+2)\cdot(a-2) \) ed otteniamo

m.c.m.\(=(a+2)\cdot(a-2) \)

Dividiamo adesso il m.c.m. per il primo denominatore e moltiplichiamo il risultato per il primo numeratore:$$[(a+2)\cdot(a-2)\div(a+2)]\cdot(a^2+a+1)=(a-2)\cdot(a^2+a+1)=a^3+a^2+a-2a^2-2a-2=a^3-a^2-a-2$$ Dividiamo adesso il m.c.m. per il secondo denominatore e moltiplichiamo il risultato per il secondo numeratore:$$[(a+2)\cdot(a-2)\div(a^2-4)]\cdot(-a^3-3)=1\cdot(-a^3-3)=-a^3-3$$ Sommiamo adesso i due risultati e poniamoli come numeratore della frazione risultato che ha il m.c.m. come denominatore:$$\frac{a^3-a^2-a-2+(-a^3-3)}{(a+2)\cdot(a-2)}=\frac{a^3-a^2-a-2-a^3-3}{(a+2)\cdot(a-2)}=\frac{-a^2-a-5)}{(a+2)\cdot(a-2)}$$Vediamo adesso una differenza tra due frazioni algebriche. $$\frac{a+1}{a-1}-\frac{a^2+1}{a}=\frac{a\cdot(a+1)-(a-1)\cdot(a^2+1)}{a\cdot(a-1)}=\frac{a^2+a-(a^3+a-a^2-1)}{a\cdot(a-1)}=\frac{a^2+a-a^3-a+a^2+1)}{a\cdot(a-1)}=\frac{-a^3+2a^2+1}{a\cdot(a-1)}$$

Moltiplicazione tra frazioni algebriche

Il prodotto tra due frazioni algebriche una nuova frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

Prima di effettuare il calcolo conveniente verificare se le frazioni si possono semplificare; per due frazioni implicate in una moltiplicazione si possono semplificare i termini uguali anche tra numeratore di una frazione e denominatore dell'altra.
Vediamo un esempio:$$\frac{(a+1)^2}{a^2+b+3}\cdot \frac{3a^2+3b+9}{a+1}=\frac{(a+1)^2}{a^2+b+3}\cdot \frac{3(a^2+b+3)}{a+1}=$$semplificando otteniamo \(3(a+1) \)

Divisione tra frazioni algebriche

Il quoziente tra due frazioni algebriche una nuova frazione uguale a quella ottenuta dal prodotto tra la frazione dividendo e l'inverso della frazione divisore.

Quando ci troviamo davanti ad una divisione dobbiamo, quindi, semplicemente trasformarla in un prodotto capovolgendo la frazione divisore.$$\frac{(a+1)^2}{a^2+b}\div \frac{a+1}{3a^2+3b}=\frac{(a+1)^2}{a^2+b}\cdot \frac{3(a^2+b)}{a+1}=3\cdot(a+1)$$Importante ricordare che il simbolo di divisione pu essere sostituito da una linea di frazione e che quando si capovolge una frazione, lo si deve fare al livello del simbolo pi vicino.Vediamo qualche esempio:

\( \frac{2}{5}\div7=\frac{\frac{2}{5}}{7}= \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{7}=\frac{2}{35} \) Sarebbe stato un errore capovolgere la frazione come \( \frac{\frac{2}{5}}{7}\neq 2\cdot \frac{7}{5}=\frac{14}{5} \)

Potenza di una frazione algebrica

La potenza di grado n di una frazione algebrica pari ad una nuova frazione che ha gli stessi numeratore e denominatore ma entrambi elevati alla potenza ennesima.$$(\frac{a+1}{a-2})^3=\frac{(a+1)^3}{(a-2)^3}$$



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