Nella versione per cellulare sono omessi esempi e formule troppo grandi per rendere possibile un caricamento veloce della pagina. Per la pagina completa visitaci da desktop o tablet.

Algebra

Insiemi Numerici Le Potenze I Monomi I Polinomi Prodotti Notevoli Divisione tra Polinomi Scomposizione di Polinomi m.c.m. M.C.D. Frazioni Algebriche Equazioni I grado Equazioni fratte Equazioni letterali Equazioni ai moduli Problemi di I grado Sistemi di I grado Metodi risolutivi Sistemi Metodo di Sostituzione Metodo di riduzione Metodo del confronto Metodo di Cramer Cenni sulle Matrici Studio sistemi indeterminati Valutazione sistemi impossibili Disequazioni di I grado Disequazioni letterali Sistemi di Disequazioni Disequazioni fratte Disequazioni scomponibili Disequazioni ai moduli Numeri Reali, Radicali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

Equazioni di primo grado

Prima di parlare di equazioni dobbiamo introdurre il concetto di uguaglianza:

Si definisce uguaglianza , l'insieme di due entità divise da un uguale; queste entità possono essere numeri, monomi, polinomi o combinazioni di essi. Tra le uguaglianze spiccano due categorie:
  • le identità sono particolari uguaglianze nelle quali compaiono delle lettere e che hanno la proprietà di essere valide per qualsiasi valore noi sostituiamo alle lettere stesse.

  • le equazioni sono delle uguaglianze dove compaiono delle lettere e che hanno la proprietà di essere valide solo quando sostituiamo alcuni valori alle lettere; valori che si possono calcolare.
Vediamo qualche esempio di uguaglianza:

\( 2+5=7 \rightarrow \) è una uguaglianza vera o verificata

\(5-3=0 \rightarrow \) è una uguaglianza falsa o non verificata

\( 3a+2=2+3a \rightarrow \) è una identità; infatti è una uguaglianza verificata per ogni valore che sostituisco alla lettera

\( a+5=12 \rightarrow \) è una equazione; infatti è una uguaglianza verificata solo per il valore 7 della lettera

\( \frac{2}{a}=\frac{2}{a} \rightarrow \) non è una identità; infatti essa non rappresenta una uguaglianza quando alla lettera sostituiamo il valore 0 infatti per quel valore la frazione non è definita.

Per le equazioni si definisce anche il concetto di soluzione: si definisce soluzione di una equazione, quel valore che deve assumere la variabile (lettera) affinchè l'uguaglianza sia verificata.
Le equazioni possono avere quindi:
  • nessuna soluzione: non esiste alcun valore che possiamo sostituire alla variabile per ottenere una uguaglianza vera;
  • una soluzione: esiste un solo valore che sostituito alla variabile ci restituisce una uguaglianza vera;
  • più soluzioni: esistono 2 o più valori che sostituiti alla variabile ci danno una uguaglianza vera; questo accade per equzioni di grado superiore al primo.
Una volta definite vediamo adesso come operare con le equazioni; ci vengono incontro due principi noti come primo e secondo principio di equivalenza delle equazioni.

Primo principio di equivalenza

Il primo principio di equivalenza delle equazioni afferma che aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di una equazione la stessa quantità, l'equazione resta equivalente a quella data
Vediamo un esempio:

Consideriamo l'equazione \( a+2=2a+1 \); essa ammette come valore di a il valore 1. Applichiamo il primo principio di equivalenza e sommiamo a destra e sinistra dell'uguale il valore 8 ottenendo$$a+2+8=2a+1+8$$Svolgiamo i calcoli ed otteniamo \( a+10= 2a+9 \); questa ammette ancora come soluzione il valore 1 quindi diremo che è equivalente a quella di partenza. Se invece di aggiungere il valore 8 avessimo sottratto il valore 2a avremmo ottenuto \(a+2-2a=2a+1-2a \) e svolgendo i calcoli \(a+2-2a=1\) quindi il termine 2a sarebbe scomparso da un lato dell'uguale per apparire dall'altro cambiato di segno. Diamo allora la regola pratica che deriva dal primo principio di equivalenza:è sempre possibile spostare un elemento dell'equazione dal membro destro al sinistro o viceversa senza cambiare il risultato della stessa, a patto di cambiare di segno l'elemento spostato.

Secondo principio di equivalenza

Il secondo principio di equivalenza delle equazioni afferma che moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per la stessa quantità, diversa da zero, l'equazione resta equivalente a quella data
Consideriamo, ad esempio l'equazione a+2=3 ; essa ammette soluzione a=1 infatti sostituendo ad a il valore 1 otteniamo una uguaglianza verificata. Moltiplichiamo per 3 entrambe i membri ed otteniamo \( 3\cdot(a+2)=3\cdot3 \rightarrow 3a+6=9 \) che ammette anche essa soluzione a=1; quindi questa equazione e quella di partenza sono equivalenti. Questo principio ci consente di ricavare due regole pratiche molto utili per operare con le equazioni:
  • ogni qual volta nell'equazione vi sia una o più frazioni, si può calcolare il m.c.m. tra i denominatori , porlo come denominatore a destra e sinistra e poi eliminarlo moltiplicando i due membri per il m.c.m. stesso.$$\frac{a}{3}+5=\frac{1}{2}+a$$ $$\frac{2a+30}{6}=\frac{3+6a}{6}$$ $$6\cdot \frac{2a+30}{6}=6\cdot \frac{3+6a}{6}$$ $$2a+30=3+6a$$
  • ogni qual volta nell'equazione riusciamo a raccogliere a fattore totale lo stesso valore ad entrambi i membri possiamo farlo sparire dividendo per esso a destra e a sinistra dell'uguale.$$2a+4=4a+6$$ $$2\cdot(a+2)=2\cdot(2a+3)$$ $$2\cdot(a+2)\div2=2\cdot(2a+3)\div2$$ $$(a+2)=(2a+3)$$ Abbiamo adesso tutti gli strumenti per risolvere le equazioni di primo grado (cioè quelle in cui la variabile è presente solo con l'esponente 1); basta manipolare l'equazione per giungere alla condizione in cui a sinistra dell'uguale vi sia solo la variabile con coefficiente uno ed a destra solo un numero.$$\frac{a}{2}=2+a$$ $$\frac{a}{2}=\frac{4+2a}{2}$$ $$a=4+2a$$ $$a-2a=4$$ $$-a=4$$ $$-a\cdot-1=4\cdot-1$$ $$a=-4$$ Questo appena visto è un esempio di equazione possibile ( a=-4 ) cioè che ammette soluzione. Potrebbe capitare che manipolando l'equazione si raggiunga una situazione in cui a destra e sinistra dell'uguale restino soltanto due numeri diversi tra loro; in questo caso si parla di equazione impossibile (ad esempio 1=2) perchè l'equazione non è mai verificata a prescindere dal valore della variabile. Per ultimo è possibile il caso in cui a destra e sinistra dell'uguale vi sono due numeri identici; diciamo allora che l'equazione è indeterminata (ad esempio 0=0) poiché è sempre verificata indipendentemente dalla variabile.

    Equazioni particolari di grado superiore al primo

    Per riconoscere queste equazioni particolari dobbiamo portare tutti i termini a sinistra dell'uguale ed uguagliarli a 0; ci troviamo davanti ad una di esse se è possibile scomporre il polinomio a sinistra dell'uguale nel prodotto di polinomi di primo grado. In questo caso per la legge di annullamento del prodotto (un prodotto è nullo se almeno uno dei fattori è nullo) le soluzioni sono quelle che annullano i polinomi fattori.
    Consideriamo l'equazione $$ x^3+x^2-4x-4=0 $$cominciamo a mettere in evidenza tra i primi due termini il valore \(x^2 \) e tra gli altri due il valore -4 ed otteniamo$$x^2(x+1)-4(x+1)=0$$mettiamo adesso in evidenza il binomio (x+1)$$(x+1)\cdot(x^2-4)=0$$scomponiamo il secondo binomio ed otteniamo$$(x+1)\cdot(x+2)\cdot(x-2)$$Per la legge di annullamento del prodotto ricaviamo le tre soluzioni imponendo, uno alla volta, i tre binomi fattori uguali a zero:

    \(x+1=0 \ \ \ \rightarrow x=-1 \) è la prima soluzione
    \(x+2=0 \ \ \ \rightarrow x=-2 \) la seconda
    \(x-2=0 \ \ \ \rightarrow x=2 \) la terza soluzione



Hai trovato utile questa pagina?

Clicca +1 per consigliarla tra le ricerche di google

Oppure condividi la stessa sui tuoi social network preferiti


Privacy Policy

Indirizzo e-mail

teoremadi@altervista.org

Torna
su

I contenuti di questo sito possono essere copiati e riprodotti a patto di indicarne espressamente la provenienza.
Copyright © 2015 Teoremadi.altervista.org di Zitiello Giuseppe. Tutti i diritti riservati.