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Algebra

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Analisi

Definizione di Relazione Definizione di Funzione

Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Equazioni di primo grado

Prima di parlare di equazioni dobbiamo introdurre il concetto di uguaglianza:

Si definisce uguaglianza , l'insieme di due entità divise da un uguale; queste entità possono essere numeri, monomi, polinomi o combinazioni di essi. Tra le uguaglianze spiccano due categorie:
  • le identità sono particolari uguaglianze nelle quali compaiono delle lettere e che hanno la proprietà di essere valide per qualsiasi valore noi sostituiamo alle lettere stesse.

  • le equazioni sono delle uguaglianze dove compaiono delle lettere e che hanno la proprietà di essere valide solo quando sostituiamo alcuni valori alle lettere; valori che si possono calcolare.
Vediamo qualche esempio di uguaglianza:

\( 2+5=7 \rightarrow \) è una uguaglianza vera o verificata

\(5-3=0 \rightarrow \) è una uguaglianza falsa o non verificata

\( 3a+2=2+3a \rightarrow \) è una identità; infatti è una uguaglianza verificata per ogni valore che sostituisco alla lettera

\( a+5=12 \rightarrow \) è una equazione; infatti è una uguaglianza verificata solo per il valore 7 della lettera

\( \frac{2}{a}=\frac{2}{a} \rightarrow \) non è una identità; infatti essa non rappresenta una uguaglianza quando alla lettera sostituiamo il valore 0 infatti per quel valore la frazione non è definita.

Per le equazioni si definisce anche il concetto di soluzione: si definisce soluzione di una equazione, quel valore che deve assumere la variabile (lettera) affinchè l'uguaglianza sia verificata.
Le equazioni possono avere quindi:
  • nessuna soluzione: non esiste alcun valore che possiamo sostituire alla variabile per ottenere una uguaglianza vera;
  • una soluzione: esiste un solo valore che sostituito alla variabile ci restituisce una uguaglianza vera;
  • più soluzioni: esistono 2 o più valori che sostituiti alla variabile ci danno una uguaglianza vera; questo accade per equzioni di grado superiore al primo.
Una volta definite vediamo adesso come operare con le equazioni; ci vengono incontro due principi noti come primo e secondo principio di equivalenza delle equazioni.

Primo principio di equivalenza

Il primo principio di equivalenza delle equazioni afferma che aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di una equazione la stessa quantità, l'equazione resta equivalente a quella data
Vediamo un esempio:

Consideriamo l'equazione \( a+2=2a+1 \); essa ammette come valore di a il valore 1. Applichiamo il primo principio di equivalenza e sommiamo a destra e sinistra dell'uguale il valore 8 ottenendo$$a+2+8=2a+1+8$$Svolgiamo i calcoli ed otteniamo \( a+10= 2a+9 \); questa ammette ancora come soluzione il valore 1 quindi diremo che è equivalente a quella di partenza. Se invece di aggiungere il valore 8 avessimo sottratto il valore 2a avremmo ottenuto \(a+2-2a=2a+1-2a \) e svolgendo i calcoli \(a+2-2a=1\) quindi il termine 2a sarebbe scomparso da un lato dell'uguale per apparire dall'altro cambiato di segno. Diamo allora la regola pratica che deriva dal primo principio di equivalenza:è sempre possibile spostare un elemento dell'equazione dal membro destro al sinistro o viceversa senza cambiare il risultato della stessa, a patto di cambiare di segno l'elemento spostato.

Secondo principio di equivalenza

Il secondo principio di equivalenza delle equazioni afferma che moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per la stessa quantità, diversa da zero, l'equazione resta equivalente a quella data
Consideriamo, ad esempio l'equazione a+2=3 ; essa ammette soluzione a=1 infatti sostituendo ad a il valore 1 otteniamo una uguaglianza verificata. Moltiplichiamo per 3 entrambe i membri ed otteniamo \( 3\cdot(a+2)=3\cdot3 \rightarrow 3a+6=9 \) che ammette anche essa soluzione a=1; quindi questa equazione e quella di partenza sono equivalenti. Questo principio ci consente di ricavare due regole pratiche molto utili per operare con le equazioni:
  • ogni qual volta nell'equazione vi sia una o più frazioni, si può calcolare il m.c.m. tra i denominatori , porlo come denominatore a destra e sinistra e poi eliminarlo moltiplicando i due membri per il m.c.m. stesso.$$\frac{a}{3}+5=\frac{1}{2}+a$$ $$\frac{2a+30}{6}=\frac{3+6a}{6}$$ $$6\cdot \frac{2a+30}{6}=6\cdot \frac{3+6a}{6}$$ $$2a+30=3+6a$$
  • ogni qual volta nell'equazione riusciamo a raccogliere a fattore totale lo stesso valore ad entrambi i membri possiamo farlo sparire dividendo per esso a destra e a sinistra dell'uguale.$$2a+4=4a+6$$ $$2\cdot(a+2)=2\cdot(2a+3)$$ $$2\cdot(a+2)\div2=2\cdot(2a+3)\div2$$ $$(a+2)=(2a+3)$$ Abbiamo adesso tutti gli strumenti per risolvere le equazioni di primo grado (cioè quelle in cui la variabile è presente solo con l'esponente 1); basta manipolare l'equazione per giungere alla condizione in cui a sinistra dell'uguale vi sia solo la variabile con coefficiente uno ed a destra solo un numero.$$\frac{a}{2}=2+a$$ $$\frac{a}{2}=\frac{4+2a}{2}$$ $$a=4+2a$$ $$a-2a=4$$ $$-a=4$$ $$-a\cdot-1=4\cdot-1$$ $$a=-4$$ Questo appena visto è un esempio di equazione possibile ( a=-4 ) cioè che ammette soluzione. Potrebbe capitare che manipolando l'equazione si raggiunga una situazione in cui a destra e sinistra dell'uguale restino soltanto due numeri diversi tra loro; in questo caso si parla di equazione impossibile (ad esempio 1=2) perchè l'equazione non è mai verificata a prescindere dal valore della variabile. Per ultimo è possibile il caso in cui a destra e sinistra dell'uguale vi sono due numeri identici; diciamo allora che l'equazione è indeterminata (ad esempio 0=0) poiché è sempre verificata indipendentemente dalla variabile.

    Equazioni particolari di grado superiore al primo

    Per riconoscere queste equazioni particolari dobbiamo portare tutti i termini a sinistra dell'uguale ed uguagliarli a 0; ci troviamo davanti ad una di esse se è possibile scomporre il polinomio a sinistra dell'uguale nel prodotto di polinomi di primo grado. In questo caso per la legge di annullamento del prodotto (un prodotto è nullo se almeno uno dei fattori è nullo) le soluzioni sono quelle che annullano i polinomi fattori.
    Consideriamo l'equazione $$ x^3+x^2-4x-4=0 $$cominciamo a mettere in evidenza tra i primi due termini il valore \(x^2 \) e tra gli altri due il valore -4 ed otteniamo$$x^2(x+1)-4(x+1)=0$$mettiamo adesso in evidenza il binomio (x+1)$$(x+1)\cdot(x^2-4)=0$$scomponiamo il secondo binomio ed otteniamo$$(x+1)\cdot(x+2)\cdot(x-2)$$Per la legge di annullamento del prodotto ricaviamo le tre soluzioni imponendo, uno alla volta, i tre binomi fattori uguali a zero:

    \(x+1=0 \ \ \ \rightarrow x=-1 \) è la prima soluzione
    \(x+2=0 \ \ \ \rightarrow x=-2 \) la seconda
    \(x-2=0 \ \ \ \rightarrow x=2 \) la terza soluzione



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