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Algebra

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Equazioni irrazionali


Si definisce equazione irrazionale, una equazione in cui l'incognita si trova sotto il segno di radice

La risoluzione delle equazioni irrazionali è legata all'indice di radice con cui è presente l'incognita; distinguiamo quindi i due casi.

Equazioni irrazionali ad indice dispari

Dato che nell'insieme dei numeri reali la radice ad indice dispari è sempre definita ed il suo risultato è unico, le equazioni irrazionali ad indice dispari non necessitano di nessuna discussione; basta trasformare l'equazione in una equazione razionale elevando opportunamente i due membri dell'equazione ad un esponente pari all'indice di radice.

Esempio

Risolvere l'equazione irrazionale $$\frac{\sqrt[3]{9-x}-2}{\sqrt[3]{1-x}}=1$$ Per prima cosa imponiamo che il denominatore della frazione non si annulli e quindi \( \sqrt[3]{1-x} \neq 0 \) e poiché la radice è nulla solo se lo è il radicando otteniamo \( 1-x \neq0 \rightarrow x \neq 1 \). Adesso portiamo i due membri allo stesso denominatore$$\frac{\sqrt[3]{9-x}-2}{\sqrt[3]{1-x}}=\frac{\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x}}$$ eliminiamo i denominatori ed eleviamo al cubo i due membri dell'equazione$$(\sqrt[3]{9-x}-2)^3=(\sqrt[3]{1-x})^3 $$
$$[(\sqrt[3]{9-x})^3-2^3-6(\sqrt[3]{9-x})^2+12(\sqrt[3]{9-x})]=1-x$$svolgiamo i calcoli ed otteniamo$$9-x-8-6(\sqrt[3]{9-x})^2+12(\sqrt[3]{9-x})-1+x=0 \\\\ -6(\sqrt[3]{9-x})^2+12(\sqrt[3]{9-x})=0 \\\\ 12\sqrt[3]{9-x}=6(\sqrt[3]{9-x})^2 \\\\ 2\sqrt[3]{9-x}=\sqrt[3]{(9-x)^2}$$ eleviamo nuovamente al cubo i due membri ed otteniamo$$8(9-x)=(9-x)^2 \\\\ -(9-x)^2+8(9-x)=0 \\\\ (9-x)(8-9+x)=0$$per la legge di annullamento del prodotto otteniamo come soluzioni
\( x_1=(9-x)=0 \rightarrow x=9 \) soluzione accettabile perché rispetta la condizione di realtà per la frazione;
\( (8-9+x)=0 \rightarrow x=1 \) soluzione non accettabile perché affinché esista la frazione deve risultare \( x \neq 1 \).

Equazioni irrazionali ad indice pari

La risoluzione delle equazioni irrazionali ad indice pari è legata alla soddisfazioni di alcune condizioni; queste ultime vengono sia dall'esistenza della radice di ordine pari (una radice di ordine pari esiste solo se l'argomento è non negativo ), sia dal fatto che dovendo elevare al quadrato i due membri dell'equazione essi devono essere entrambi positivi pena l'introduzione di nuove soluzioni false cioè che sostituite alla variabile nella traccia non portano ad una identità. Date queste regole generali vediamo adesso i casi che si possono presentare:

Equazione con un solo termine irrazionale

Siamo quindi nella condizione \( \sqrt[n]{A(x)}=B(x) \) dove A(x) e B(x) sono polinomi in x ed n è un numero naturale pari; operiamo allora come segue:
1) imponiamo le condizioni di realtà per le radici ( \( A(x) \geq 0 \) ) e, se presenti, anche quelle legate ad altri elementi come ad esempio le frazioni;

2) imponiamo che i due membri siano positivi e poiché la radice lo è per definizione basta porre \( B(x) \geq 0 \).
Visto che le soluzioni devono rispettare entrambe le condizioni possiamo farle diventare una sola intersecando gli insiemi in cui accetteremo le soluzioni ( poniamo le due condizioni a sistema )

3) portiamo il radicale da un lato dell'uguale, i termini fuori radice dall'altro ed eleviamo alla potenza ennesima ambo i membri dell'equazione e risolviamo l'equazione ottenuta;

4) confrontiamo le soluzioni ottenute con l'insieme ottenuto dal sistema delle condizioni; le soluzioni all'interno del sistema le accettiamo, le altre siamo costretti a scartarle (esse davvero non sono soluzioni infatti se sostituite nella traccia non portano ad una uguaglianza).

In generale è possibile pure elevare a potenza e non porre condizione valutando alla fine quale soluzione sia corretta sostituendo nell'equazione; questo però oltre ad essere matematicamente un obbrobrio è molto spesso una perdita di tempo infatti, ad esempio, durante lo studio di una equazione potremmo riscontrare che le condizioni portano all'impossibilità di trovare soluzioni e quindi non andremmo nemmeno avanti.

Esempio

Risolvere la seguente equazione \( \sqrt{x+2}=x-1 \)
Per la radice deve risultare \( x+2 \geq 0 \rightarrow x \geq -2 \)
Per poter elevare al quadrato deve risultare \( x-1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1 \)
Cumulativamente avremo \( x \geq 1 \)
In questa condizione possiamo elevare al quadrato i due membri ed otteniamo$$x+2=(x-1)^2 \\\\ x+2=x^2+1-2x \\\\ -x^2+3x+1=0 \\\\ x^2-3x-1=0$$calcoliamo il discriminante di questa equazione di secondo grado \( \Delta=9+4=13 \); essendo positivo l'equazione ammetterà due soluzioni distinte:
\( x_1=\frac{3-\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2} \)
\( x_2=\frac{3+\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{3+\sqrt{13}}{2} \)
Confrontiamo con le condizioni poste in precedenza e troviamo che \( x_1 \) è negativo, perché la radice di tredici vale più di tre, quindi di sicuro minore di 1; per questo deve essere scartata non rispettando le condizioni poste. La soluzione \( x_2 \) vale più di due e quindi è maggiore di 1 e può essere accettata; in effetti è l'unico valore che sostituito alla variabile trasforma l'equazione in una identità.


Equazione con due termini irrazionali

Quando sono presenti solo i due termini irrazionali cioè \( \sqrt{A(x)}=\sqrt{B(x)} \) si devono portare dalle parti opposte del segno d'uguaglianza e valutarne il segno: se hanno segno opposto, infatti, l'equazione non ammette soluzione perché essendo la radice un valore positivo si avrebbe che un numero positivo deve essere uguale ad un numero negativo. Diversamente se il segno è concorde si elevano a potenza tutti e due i membri e si risolve l'equazione ottenuta, fermo restando che bisogna comunque imporre le condizioni di realtà ed alla fine confrontare con esse le soluzioni; quelle che mancano sono le condizioni sulla concordanza del segno perché, come visto, nel caso non ci fosse l'equazione non avrebbe soluzione.

Quando oltre ai due termini irrazionali è presente anche un altro termine cioè siamo nel caso \( \sqrt{A(x)}+\sqrt{B(x)}=C(x) \), dopo aver posto le condizioni di realtà dobbiamo porre le radici in modo da averle con i segni positivi e poi se servono imporre le condizioni sul segno degli argomenti. Fatto questo elevare a potenza i due membri dell'equazione ed osservare l'equazione ottenuta: se le radici sono scomparse calcoliamo le soluzioni dell'equazione razionale e le confrontiamo con le condizioni; se vi sono ancora radici bisogna reiterare il procedimento ed introdurre, se necessario, altre condizioni sul segno dei membri dell'equazione ( queste nuove condizioni vanno messe a sistema con le precedenti per ottenere le nuove condizioni generali ). Si continua ad operare in questo modo finché non otteniamo una equazione razionale.

Esempio

Risolvere la seguente equazione \( \sqrt{2x}=x+2-\sqrt{x^2+4} \)
Imponiamo le condizioni di realtà delle radici
\( 2x\geq 0 \rightarrow x\geq 0 \)
\( x^2+4\geq 0 \rightarrow x^2 \geq -4 \) sempre vero perché un quadrato è sempre positivo e quindi maggiore di ogni numero negativo;
Portiamo adesso le due radici al primo membro, in modo che avendo entrambe segno positivo la loro somma è sicuramente positiva, e lasciamo gli altri termini al secondo membro per cui imponiamo la condizione di positività
\( x+2\geq 0 \rightarrow x \geq -2 \)
Mettiamo a sistema le tre condizioni per trovare quella generale$$\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x^2+4\geq 0 \\ x \geq -2 \end{matrix}\right.$$La soluzione è palesemente \( x\geq 0 \); in queste condizioni eleviamo al quadrato ed otteniamo$$2x+x^2+4+2\sqrt{2x}\cdot \sqrt{x^2+4}=x^2+4+4x \\\\ 2\sqrt{2x\cdot(x^2+4)}=2x \\\\ \sqrt{2x\cdot(x^2+4)}=x$$Adesso dobbiamo elevare di nuovo al quadrato e quindi abbiamo necessità di porre una nuova condizione sulla positività del secondo membro \( x \geq 0 \) che però in questo caso non modifica la condizione generale che resta \( x \geq 0 \). Eleviamo al quadrato ed otteniamo$$2x\cdot(x^2+4)=x^2 \\\\ 2x\cdot(x^2+4)-x^2=0$$Ora mettiamo in evidenza x ed otteniamo$$x(2x^2+8-x)=0$$per la legge di annullamento del prodotto si ha

\( x=0 \) rappresenta una soluzione accettabile perché rispetta la condizione generale che avevamo ottenuto.

\( 2x^2+8-x=0 \) per risolvere questa equazione calcoliamone il determinante;
\( \Delta=1-64=-63 \) Il discriminante negativo ci dice che questa equazione non ha soluzioni reali e quindi l'unica soluzione dell'equazione generale resta quella calcolata prima.

Equazione con più di due termini irrazionali

Quando vi sono più di due termini irrazionali bisogna disporli nei due membri dell'equazione in modo da poter:
a) imporre le condizioni di positività nel modo più semplice possibile;
b) elevare semplicemente a potenza facendo diminuire il numero di elementi irrazionali presenti nell'equazione.

Alcune volte la condizione di positività può diventare una disequazione irrazionale che ancora non abbiamo studiato oppure essere semplicemente complicata come potrebbero esserlo anche le condizioni di realtà; in questi casi ricordiamo che possiamo sempre risolvere l'equazione senza porre alcuna condizione e verificare a posteriori quali soluzioni sono accettabili di quelle trovate sostituendole nella traccia e valutando se conducono a delle identità.

Esempio

Risolvere la seguente equazione \( \sqrt{3-x}+\sqrt{5-x}-\sqrt{8-2x}=0 \) Imponiamo le condizioni di realtà delle radici
\( 3-x\geq 0 \rightarrow -x\geq -3 \rightarrow x\leq 3 \\ 5-x\geq 0 \rightarrow -x\geq -5 \rightarrow x\leq 5 \\ 8-2x\geq 0 \rightarrow -2x\geq -8 \rightarrow 2x\leq 8 \rightarrow x\leq 4 \)
Portiamo la terza radice al secondo membro in modo che vi siano al primo membro la somma di due radici ed al secondo un'altra radice col segno positivo; in questo caso non dobbiamo porre nessuna condizione sulla positività dei membri dell'equazione essendo entrambi sicuramente positivi. Poniamo allora a sistema solo le condizioni di realtà$$\left\{\begin{matrix} x\leq 3\\ x\leq 5\\ x\leq 4 \end{matrix}\right.$$la cui soluzione è palesemente \( x\leq 3 \); in queste condizioni eleviamo al quadrato$$3-x+5-x+2\sqrt{3-x}\cdot\sqrt{5-x}=8-2x \\\\ 2\sqrt{(3-x)\cdot(5-x)}=0$$ora ricordiamo che la radice è nulla se lo è il radicando quindi abbiamo$$(3-x)\cdot(5-x)=0$$da cui otteniamo per la legge di annullamento del prodotto:

\( 3-x=0 \rightarrow x=3 \) soluzione accettabile perché rispetta le condizioni generali per l'equazione;

\( 5-x=0 \rightarrow x=5 \) soluzione non accettabile perché non rispetta la condizione \( x\leq 3 \).

L'equazione irrazionale ammette un'unica soluzione \( x=3 \) accettabile.



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