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Algebra

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Scomposizione trinomio di secondo grado


Cominciamo col vedere quali relazioni intercorrono tra le radici dell'equazione ed i suoi coefficienti. Consideriamo le soluzioni dell'equazione di secondo grado \( ax^2+bx+c=0 \) e valutiamo la somma ed il prodotto di queste soluzioni:

\(x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}+(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a} \)

\( x_1 \cdot x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \cdot \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a} \)

Ora consideriamo l'equazione di partenza e posto \(a \neq0 \) (altrimenti non sarebbe una equazione di secondo grado ) dividiamo tutto per a ottenendo$$x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}=0$$ poniamo adesso \( s=x_1+x_2=-\frac{b}{a} \) ed \( p=x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a} \) ed otteniamo$$x^2-sx+p=0$$ Queste relazioni ci consentono sia di trovare in alcuni casi più agevolmente le soluzioni dell'equazione sia di costruire equazioni di cui conosciamo le radici.
Vediamo un esempio; determiniamo due numeri per i quali risulti che la somma vale 9 ed il prodotto 20.
Scriviamo l'equazione \(x^2-sx+p=0 \) sostituendo ad s la somma ed a p il prodotto$$x^2-9x+20=0$$ricaviamo le soluzioni ottenendo
\( x_1=\frac{9+\sqrt{81-80}}{2}=\frac{9+1}{2}=5 \)
\(x_2=\frac{9-\sqrt{81-80}}{2}=\frac{9-1}{2}=4 \)

Scomposizione del trinomio

Le relazioni tra coefficienti e soluzioni dell'equazione possono essere utilizzate anche per scomporre un trinomio di secondo grado; consideriamo il trinomio in forma normale \( ax^2+bx+c \), poniamo \( a \neq0 \) e mettiamo a in evidenza ottenendo $$a\cdot(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})$$ma applicando le relazioni precedenti otteniamo$$a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1 \cdot x_2 ]=a(x^2-x_1x-x_2x+x_1 \cdot x_2)=a[x(x-x_1)-x_2(x-x_1)]=a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)$$dove \( x_1 \textrm{ e } x_2 \) sono le soluzioni dell'equazione \(ax^2+bx+c=0 \)

Quindi otteniamo che nel caso in cui l'equazione ammetta due soluzioni distinte cioè risulti \( \Delta > 0 \) il trinomio si scompone come prodotto tra il coefficiente della potenza quadrata ed i binomi differenza tra la variabile e le soluzioni dell'equazione; se \( \Delta=0 \) le soluzioni sono coincidenti quindi il trinomio si scompone come$$a \cdot(x-x_1) \cdot (x-x_1)=a \cdot (x-x_1)^2$$Nel caso in cui risulti \( \Delta < 0 \) l'equazione non ammette soluzione ed il trinomio non è scomponibile.


Vediamo un esempio; scomporre il polinomio \( 2x^2+5x+2 \).

Troviamo le soluzioni dell'equazione associata \( 2x^2+5x+2=0 \) $$x_1=\frac{-5+\sqrt{25-4\cdot2\cdot2}}{4}=-\frac{1}{2} \textrm{ e } x_2=\frac{-5-\sqrt{25-4\cdot2\cdot2}}{4}=-2$$Adesso riscriviamo il trinomio come \( a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)=2 \cdot (x+\frac{1}{2}) \cdot (x+2) \).



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