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Algebra

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Equazioni parametriche di secondo grado


Le equazioni parametriche non sono altro che equazioni letterali dove le lettere vengono detti parametri; questa differenza nel nome è giustificata dal fatto che per le equazioni di secondo grado non affrontiamo più la discussione delle soluzioni al variare del parametro come nelle equazioni letterali di primo grado, ma il problema sarà come operare sul parametro affinché l'equazione ammetta o no soluzioni ed esse abbiano delle caratteristiche da noi scelte.
In particolare sfrutteremo le proprietà del discriminante e le relazioni che intercorrono tra le soluzioni ed i coefficienti dell'equazione.

Facciamo una carrellata delle caratteristiche che possiamo controllare in una equazione parametrica con parametro k:

a)per quali k l'equazione non ammette soluzione; basta imporre che il Δ sia minore di zero.

b)per quali k l'equazione ammette soluzioni reali e distinte; basta imporre che il Δ sia maggiore di zero.

c)per quali k l'equazione ammette soluzioni reali e coincidenti; basta imporre che il Δ sia uguale a zero di zero.

d)per quali k l'equazione ammette soluzioni specifiche; basta sostituire nell'equazione i valori delle soluzioni al posto delle variabili e ricavare i valori di k.
Ad esempio calcoliamo i valori di k per i quali l'equazione \( 2kx^2-(k+1)x+2=0 \) abbia due soluzioni \(x_1=1 \textrm{ e } x_2=-1 \)
Dobbiamo calcolare le soluzioni del sistema$$\left\{\begin{matrix} 2k(-1)^2-(k+1)(-1)+2=0\\ 2k(1)^2-(k+1)(1)+2=0 \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} k=-1\\k=-1 \end{matrix}\right.$$Quindi per \( k=-1 \) l'equazione ammette le soluzioni desiderate.


e)per quali k l'equazione ammette soluzioni concordi (discordi); sfruttando la relazione tra soluzioni e coefficienti basta imporre che il prodotto delle soluzioni sia positivo ( negativo ).
Calcolare per quale valore di k l'equazione \( 2kx^2+2x-(k+1)=0 \) ammette soluzioni concordi. ricordiamo la relazione \(x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a} \) e poiché il prodotto è positivo sei segni dei fattori è concorde imponiamo semplicemente \( \frac{-(k+1)}{2k} >0 \) studiamo i segni di numeratore e denominatore ed otteniamo:
N: \(-(k+1) >0 \rightarrow k+1 < 0 \rightarrow k < -1 \)
D: \(2k > 0 \rightarrow k > 0 \)
Riportiamo nel grafico per lo studio complessivo del segno

la frazione è maggiore di zero per \( -1 < k < 0 \) quindi per queste k l'equazione ammette soluzioni concordi compatibilmente con l'esistenza delle soluzioni; quindi calcoliamo il Δ$$\Delta=(2)^2-4\cdot(2k)\cdot[-(k+1)]=4+8k+8k^2$$imponiamolo maggiore di zero ed otteniamo$$8k^2+8k+4>0 \rightarrow 4k^2+4k+1 > 0 \rightarrow (2k+1)^2 >0$$che è sempre verificata; allora i valori di K precedentemente calcolati sono tutti accettabili.

f)per quali k l'equazione ammette soluzioni l'una inversa dell'altra; sfruttando la relazione tra soluzioni e coefficienti basta imporre che il prodotto delle soluzioni sia uguale ad 1 perché il prodotto di due numeri inversi è sempre 1.

g)per quali k l'equazione ammette soluzioni l'una doppia dell'altra; basta imporre \( x_2=2\cdot x_1 \) e risolvere il sistema$$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-\frac{b}{a} \rightarrow 2x_1=-\frac{b}{a}\\x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a} \rightarrow x_1^2=\frac{c}{a} \end{matrix}\right.$$ Sono possibili ancora mote altre combinazioni per le quali una soluzione si può esprimere in funzione dell'altra; per esse utilizziamo sempre il sistema$$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a} \end{matrix}\right.$$

Vediamo un esempio
Calcolare per quale valore di k l'equazione \( x^2+2kx+k=0 \) ammette:
1)due soluzioni reali e coincidenti;
2)due soluzioni discordi;
3)due soluzioni distinte di cui una più grande dell'altra di una unità.

(1)

Imponiamo il \( \Delta=0 \), in questo caso quello della formula ridotta $$\frac{\Delta}{4}=(k)^2-k=0 \rightarrow k(k-1)=0 \rightarrow k=0 , k=1$$cioè l'equazione ammette due soluzioni coincidenti sia quando k=0 sia quando K=1.

(2)

Due soluzioni discordi significa che il loro prodotto è negativo e quindi il rapporto \( \frac{c}{a} \) lo dobbiamo imporre negativo ( <0 ). In questo caso sarà k<0 cioè per tutti i K negativi l'equazione ammette soluzioni discordi a condizione di ammettere soluzioni; calcoliamo allora il Δ, imponiamolo >0 per vedere per quali k ci sono soluzioni$$\frac{\Delta}{4}=(k)^2-k >0 \rightarrow k(k-1) >0$$studiamo i segni dei fattori
- \( k >0 \);
- \( (k-1) >0 \rightarrow k >1 \) ;
mettiamoli nel grafico per lo studio del segno del prodotto

Il prodotto è positivo per x<0 ed x>1 quindi tutti i k negativi calcolati prima li possiamo accettare.

(3)

Dire che una soluzione è più grande dell'altra di una unità significa che le due soluzioni sono \(x_1 \textrm{ e } x_2=x_1+1 \); quindi otteniamo \(x_1+x_2=2x_1+1 \) e \(x_1 \cdot x_2 =x_1(x_1+1) \) e per le relazioni coefficienti-soluzioni scriviamo il sistema$$\left\{\begin{matrix}2x_1+1=-2k\\x_1 \cdot (x_1+1)=k \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} x_1=-\frac{2k+1}{2}\\ -\frac{2k+1}{2}\cdot(-\frac{2k+1}{2}+1)=k \end{matrix}\right.$$risolviamo la seconda eqazione$$\frac{(2k+1)(2k+1)}{4}-\frac{2k+1}{2}=k$$ $$\frac{4k^2+1+4k-4k-2}{4}=\frac{4k}{4}$$ $$4k^2-4k-1=0$$ $$\Delta=(-4)^2+16=32$$ $$k_1=\frac{4-\sqrt{32}}{8}=\frac{1-\sqrt{2}}{2} \textrm{ e } k_2=\frac{4+\sqrt{32}}{8}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$$Quindi per questi valori di k l'equazione ammette soluzioni differenti di una unità l'una dall'altra. I due valori di k sono entrambi accettabili perché uno è negativo cioè <0 e l'altro è positivo ma >1 cioè appartengono entrambi agli insiemi dei k per i quali l'equazione ammette soluzione.



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