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Algebra

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Equazioni di secondo grado

Si definisce equazione di secondo grado quella in cui l'incognita è presente con esponente massimo uguale a due.

Una forma generica per l'equazione di secondo grado è$$ax^2+bx+c=0$$dove x è l'incognita mentre a , b e c sono i coefficienti numerici; il coefficiente a deve essere diverso da zero altrimenti avremmo una equazione di primo grado.

Una equazione si dice completa se entrambi i coefficienti b e c sono non nulli; diversamente parliamo di equazione incompleta. In particolare se \( b=0 \) si definisce equazione pura mentre se \( c=0 \) si definisce equazione spuria.

Nello studio delle equazioni di primo grado abbiamo parlato delle equazioni scomponibili; in particolare se il trinomio \(ax^2+bx+c \) è scomponibile nel prodotto di binomi di primo grado, sfruttiamo, come già visto, la legge dell'annullamento del prodotto per trovare le soluzioni.
Vediamo adesso la formula generale per il calcolo delle soluzioni di una equazione di secondo grado scritta in forma normale. L'idea è quella di trasformare l'equazione in forma normale in una equazione dove al primo membro abbiamo un binomio al quadrato ed al secondo membro un numero per poter applicare la radice quadrata ad ambo i lati dell'equazione. Consideriamo allora l'equazione e moltiplichiamo ambo i membri per il coefficiente a ottenendo$$a \cdot (ax^2+bx+c)=a \cdot 0$$
$$a^2x^2+abx+ac=0$$ora aggiungiamo e sottraiamo la quantità \( \frac{b^2}{4} \) e portiamo allo stesso denominatore i due membri$$a^2x^2+abx+\frac{b^2}{4}-\frac{b^2}{4}+ac=0$$
$$\frac{4a^2x^2+4ab+b^2-b^2-4ac}{4}=\frac{0}{4}$$eliminiamo il denominatore e portiamo alcuni termini al secondo membro lasciando al primo lo sviluppo del quadrato di un binomio$$4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac$$
$$(2ax+b)^2=b^2-4ac$$applichiamo adesso la radice ricordando che dobbiamo prendere del secondo membro sia il valore positivo che quello negativo perché di entrambi il quadrato è positivo$$2ax+b= \pm \sqrt{b^2-4ac}$$portiamo b al secondo membro e dividiamo tutto per 2a per ricavare il valore della x ( possiamo dividere per 2a avendo imposto \( a \neq0 \) altrimenti non sarebbe una equazione di secondo grado )$$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$Questa è la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.


Nel caso in cui il coefficiente b fosse pari cioè \( b=2k \)la formula risolutiva sarebbe$$x=\frac{-(2k) \pm \sqrt{(2k)^2-4ac}}{2a}= \frac{-(2k) \pm \sqrt{4(k^2-ac)}}{2a}=\frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2-ac}}{2a}=\frac{\not{2}(-k \pm \sqrt{k^2-ac}}{\not{2}a}=\frac{-k \pm \sqrt{k^2-ac}}{a}$$che si chiama formula ridotta (dove \(k=\frac{b}{2} \) ). Nel caso in cui, inoltre, sia \( a=1 \) si otterrebbe \( x=-k \pm \sqrt{k^2-c} \) che viene chiamata formula ridottissima".

In queste formule la parte sotto radice viene chiamata discriminante ( e si indica con la lettera greca Δ che si legge "delta" ) dell'equazione di secondo grado; esso ha notevole importanza perché dallo studio del suo segno si può anticipare l'esistenza o meno delle soluzioni dell'equazione. Infatti notiamo che:
- se \( \Delta < 0 \) la radice non esiste nell'insieme dei numeri reali e quindi l'equazione non ammette soluzioni;
- se \( \Delta = 0 \) la radice nella formula risolutiva vale zero e quindi avremo due soluzioni coincidenti$$x_1=\frac{-b+0}{2a} \textrm{ e } x_2=\frac{-b-0}{2a}$$ - se \( \Delta > 0 \) si avranno due radici ( soluzioni ) reali e distinte$$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \textrm{ e } x_2=\frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}$$Vediamo adesso qualche esempio.

Risolviamo le seguenti equazioni

A) \( 2x^2+3x+1=0 \)
B) \( x^2-4x+4=0 \)
C) \( 2x^2-6x+5=0 \)

(A)

Calcoliamo il determinante $$\Delta=3^2-4\cdot(2)\cdot(1)=9-8=1$$è maggiore di zero e quindi l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte che sono:

\( x_1=\frac{-(3)+\sqrt{1}}{2\cdot2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} \)

\( x_2=\frac{-(3)-\sqrt{1}}{2\cdot2}=\frac{-4}{4}=-1 \)

Infatti sostituendo questi valori al posto dell'incognita, nella traccia, ottengo due identità.

(B)

Calcoliamo il determinante notando che il coefficiente b è pari e quello a vale 1 quindi possiamo usare la formula ridottissima ( N.B. Siamo sempre costretti ad usare la stessa tipologia di formula sia per il calcolo del discriminante che per quello delle soluzioni infatti il discriminante nelle formule ridotte lo indicheremo con \( \frac{\Delta}{4} \) ).
\( \frac{\Delta}{4}=(\frac{b}{2})^2-c=(-2)^2-(4)=4-4=0 \) il discriminante vale zero quindi l'equazione ammette due soluzioni reali coincidenti$$x_1=x_2=-\frac{b}{2}=2$$Avremmo ottenuto lo stesso risultato notando che il primo membro dell'equazione era il quadrato del binomio (x-2) e quindi per la legge di annullamento del prodotto il quadrato si annullava quando il binomio si annullava cioè per x=2; questo era però un esempio di applicazione delle formule di risoluzione quindi abbiamo operato nel modo generale.

(C)

Calcoliamo il determinante osservando che il coefficiente b è pari quindi possiamo applicare la formula ridotta
\( \frac{\Delta}{4}=\frac{b}{2}^2-ac=\frac{6}{2}^2-2\cdot5=3^2-10=-1 \) il discriminante è negativo quindi l'equazione non ammette soluzioni.



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