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Equazioni con valori assoluti

Si definisce equazione ai moduli quella in cui l'incognita è presente all'interno del valore assoluto

Vediamo prima come si risolve una equazione modulare quando è presente un solo valore assoluto posto uguale ad un valore k; abbiamo quindi una forma del tipo

|A(x)|=k dove A(x) è un polinomio di primo grado in x.

Distinguiamo tre casi:
  • \( k<0 \) l'equazione non ha soluzione perché per definizione il valore assoluto restituisce sempre valori positivi ed un valore maggiore di zero non può essere uguale ad uno minore di zero.
  • k=0 la soluzione è quella che annulla l'argomento del valore assoluto; cioè basta imporre A(x)=0
  • per \( k>0 \) dobbiamo dividere l'equazione in due equazioni distinte in base a come agisce il valore assoluto; infatti quest'ultimo, per definizione, restituisce l'argomento stesso se è positivo oppure l'opposto dell'argomento se è negativo. Quindi avremo A(x)=k quando A(x) è positivo e -A(x)=k quando A(x) è negativo; quest'ultima la riscriviamo come A(x)=-k.

    Vediamo un esempio; consideriamo il modulo \( \left | x+5 \right | \) studiamo le equazioni:

    \( \left | x+5 \right |=-2 \rightarrow \) l'equazione non ha soluzioni perché un modulo non è mai negativo;

    \( \left | x+5 \right |=0 \rightarrow \) l'equazione ha per soluzione il valore che annulla l'argomento del modulo \(x+5=0 \rightarrow x=-5 \)

    \( \left | x+5 \right |=+2 \rightarrow \) eliminiamo il valore assoluto scrivendo le due equazioni
    \( \star ) x+5=2 \rightarrow x=-3 \)
    \( \star \star ) x+5=-2 \rightarrow x=-7\) si hanno allora 2 soluzioni.


Vediamo adesso il caso in cui l'equazione è del tipo |A(x)|=B(x) dove A(x) e B(x) sono due polinomi di primo grado in x. Basterà studiare il segno di B(x) infatti sappiamo che quando B(x) è negativo l'equazione non può ammettere soluzioni come prima quando k era negativo mentre quando B(x) è positivo scriviamo le due equazioni e le risolviamo separatamente; alla fine però dobbiamo confrontare le soluzioni trovate con l'insieme in cui B(x) è positivo perchè saranno accettabili solo le soluzioni interne a questo insieme.

Vediamo un esempio;consideriamo l'equazione$$\left | x+2 \right |=2x$$Studiamo il segno del secondo membro ponendo \( 2x\geq0 \) questo accade per gli \( x\geq0 \). Allora si ha che l'equazione non ammette soluzioni negative. Nella condizione in cui il secondo argomento è maggiore di zero possiamo scrivere le due equazioni che vengono dalla eliminazione del valore assoluto.

\(\star ) x+2=2x \ \rightarrow -x=-2 \ \rightarrow x=2 \)
\( \star \star ) x+2=-2x \ \rightarrow 3x=-2 \ \rightarrow x=-\frac{2}{3}2 \)

La seconda soluzione non è accettabile perché negativa. Infatti se sostituiamo il suo alore nella traccia dell'equazione non troviamo una uguaglianza verificata$$\left | (-\frac{2}{3})+2 \right |=2\cdot(-\frac{2}{3})$$ $$\left | \frac{-2+6}{3} \right |=-\frac{4}{3})$$ $$\left | \frac{4}{3} \right |=-\frac{4}{3})$$che è palesemente una uguaglianza non vera!!


Ultima possibilità è quella in cui vi siano più valori assoluti; in questo caso dobbiamo prima studiare il segno degli argomenti dei moduli per individuare degli intervalli in cui tutti loro conservano il segno. In ognuno di questi intervalli scriveremo l'apposita equazione tenendo conto del segno di ogni argomento ( cioè prenderemo l'argomento del modulo se esso è positivo oppure il suo opposto se esso è negativo ; le varie equazioni le risolveremo separatamente accettando come soluzioni solo quelle interne al loro intervallo di definizione, ed infine uniremo le soluzioni.

Vediamo un esempio esplicativo; consideriamo l'equazione $$\left | x+2 \right |+\left | 2x-4 \right |=\left | 2x \right |$$ Studiamo il segno degli argomenti dei moduli:
  • \( x+2>0 \ \rightarrow \ x>-2 \)
  • \( 2x-4>0 \ \rightarrow \ 2x>4 \ \rightarrow x>2 \)
  • \( 2x>0 \ \rightarrow x>0 \)
Ci aiutiamo con la rappresentazione grafica per individuare i vari intervalli ed otteniamo:

Osserviamo allora che nel primo intervallo formato dai valori \(x\leq -2 \) abbiamo che tutti e tre gli argomenti sono negativi quindi scriveremo una equazione dove ogni modulo sarà sostituito dall'opposto del suo argomento.
\( \star) -(x+2)-(2x-4)=-(2x) \ \rightarrow -x-2-2x+4=-2x \ \rightarrow \ -x=-2 \ \rightarrow x=2 \) la soluzione non è accettabile perché esterna all'intervallo di definizione dell'equazione.

Nel secondo intervallo ( \( -2 \( \star \star) (x+2)-(2x-4)=-(2x) \ \rightarrow x-2-2x+4=-2x \ \rightarrow \ x=-2 \) la soluzione non è accettabile perché esterna all'intervallo di definizione dell'equazione.

Per il terzo intervallo ( \( 0 \( \star \star \star) (x+2)-(2x-4)=2x \ \rightarrow \ x+2-2x+4=2x \ \rightarrow \ -3x=-6 \ \rightarrow \x=2 \) la soluzione è valida perchè interna all'intervallo di definizione.

Per il quarto intervallo ( \( x>2 \) ) abbiamo i tre argomenti tutti positivi quindi scriviamo:
\( \star \star \star \star) (x+2)+(2x-4)=2x \ \rightarrow \ x+2+2x-4=2x \ \rightarrow \ x=2 \) la soluzione non è accettabile perché esterna all'intervallo di definizione dell'equazione.

Diremo allora che l'equazione modulare ha una soluzione accettabile ed essa è x=2; infatti possiamo provare a porre le altre soluzioni nell'equazione di partenza e vedere che non portano ad una uguaglianza verificata.



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