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Algebra

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Equazioni letterali

Una equazione si definisce letterale quando oltre alla variabile compaiono altre lettere come coefficienti.

In genere si suole indicare le variabili con le ultime lettere dell'alfabeto mentre i coefficienti con le prime. Quando operiamo con le equazioni letterali dobbiamo tener presente che i coefficienti letterali rappresentano dei numeri e quindi ogni qual volta si trovano al denominatore oppure vogliamo dividere entrambi i membri dell'equazione per un termine in cui vi è una lettera siamo costretti ad introdurre delle condizioni.
Vediamo un esempio; consideriamo l'equazione \(ax=5 \) che rappresenta una equazione letterale perchè oltre alla variabile x è presente anche il coefficiente letterario a. Per risolverla dobbiamo dividere entrambi i membri per a; ma questo possiamo farlo solo se \( a\neq0 \). Quindi posta questa condizione dividiamo per a entrambi i membri ed otteniamo $$\frac{a}{a}x=\frac{5}{a} \rightarrow x=\frac{5}{a}$$Diremo allora che l'equazione:

per \( a\neq0 \) ammette soluzione \( x=\frac{5}{a} \)

per a=0 invece notiamo che, sostituendo nella traccia dell'equazione il valore 0 ad a, otteniamo \(0x=5\rightarrow 0=5 \) cioè qualsiasi valore abbia la x l'uguaglianza non è mai verificata. Diremo che l'equazione è impossibile per a=0 .


Quindi quando ci troviamo difronte ad una equazione letterale dobbiamo discutere le soluzioni al variare del parametro letterale. Vediamo un altro esempio; consideriamo l'equazione$$(a+1)\cdot x=\frac{2}{a}$$Poniamo \(a \neq0 \) affinché sia definita la frazione a secondo membro ed \( (a+1)\neq0 \rightarrow a\neq -1 \) affinché possa dividere entrambi i membri per (a+1) ed esplicitare la x. Quindi in queste condizioni abbiamo$$\frac{(a+1)}{(a+1)}\cdot x=\frac{\frac{2}{a}}{(a+1)}$$ e $$x=\frac{2}{a}\cdot \frac{1}{a+1}=\frac{2}{a\cdot(a+1)}$$Prima di discutere l'equazione osserviamo il caso in cui a=-1 sostituendo il valore nella traccia dell'equazione.$$(-1+1)\cdot x=\frac{2}{-1} \rightarrow 0x=-2 $$Diciamo adesso che:
  • per a=0 l'equazione non ha significato perchè la frazione a secondo membro non è definita;
  • per \( a \neq0 \) ed \(a\neq -1 \) l'equazione ammette soluzione ed essa vale \( x=\frac{2}{a\cdot(a+1)} \);
  • per \( a=-1 \) l'equazione è impossibile infatti per qualsiasi x risulta sempre 0x=-2 cioè 0=-2 che è impossibile.




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