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Algebra

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Analisi

Definizione di Relazione Definizione di Funzione

Geometria

Geometria Euclidea Criteri di congruenza Disuguaglianze triangoli Rette perpendicolari e parallele Angoli interni al triangolo Poligoni Parallelogrammi Circonferenza e cerchio Punti notevoli dei triangoli Poligoni inscritti e circoscritti Figure geometriche equivalenti Teoremi di Euclide e Pitagora

Equazioni fratte

Una equazione si definisce fratta quando la variabile compare al denominatore di una frazione.

Quando mi trovo difronte ad una equazione fratta, la prima cosa che devo fare è porre delle condizioni dette condizioni di realtà; esse devono garantire che le varie frazioni abbiano senso cioè che i loro denominatori non si annullino.

La prima operazione sarà quindi quella di imporre i denominatori (quelli in cui è presente l'incognita ) uguali a zero per trovare i valori della variabile che li annullano, se ci sono. A questo punto si calcola il m.c.m. tra le frazioni per portarle allo stesso denominatore; fatto ciò possiamo moltiplicare entrambi i membri per il minimo comune multiplo ( che nelle condizioni poste è diverso da zero ) per eliminare i denominatori e calcolare il valore della variabile. Una volta ottenuto questo valore dovremo valutarlo alla luce delle condizioni di realtà; infatti se esso è diverso da quelli delle condizioni di realtà diremo che l'equazione ammette soluzione ed essa è quella che abbiamo calcolato; se invece il valore calcolato coincide con una delle condizioni di realtà diremo che l'equazione non ammette soluzioni accettabili.
Vediamo un esempio; consideriamo l'equazione:$$\frac{1}{x+2}-\frac{3}{x^2-4}+2=\frac{2x}{x-2}$$Imponiamo i denominatori uguali a zero per trovare i valori di x che li annullano,

per il primo denominatore \( x+2=0 \rightarrow x=-2\)
per il secondo denominatore \( x^2-4=0 \rightarrow (x+2)\cdot(x-2)=0\rightarrow x=-2 \textrm{ e } x=2 \)
per il terzo denominatore \( x-2=0 \rightarrow x=+2\)
Poniamo allora \( {\color{Red} x\neq-2} \) e \( {\color{Red} x\neq2} \). In queste condizioni calcoliamo il m.c.m. e portiamo le frazioni allo stesso denominatore; $$\frac{1\cdot(x-2)-3\cdot1+2\cdot(x^2-4)}{x^2-4}=\frac{2x\cdot(x+2)}{x^2-4}$$Elimino i denominatori moltiplicando a destra e a sinistra per il minimo comune multiplo e svolgo i prodotti al numeratore ottenendo$$x-2-3+2x^2-8=2x^2+4x$$porto tutte le variabili a sinistra e i termini noti a destra$$2x^2+x-2x^2-4x=8+2+3$$ Effettuo le somme e ricavo il valore della x$$-3x=13 \ \ \ \rightarrow \ \ \ x=-\frac{13}{3}$$A questo punto osservo che il valore della x trovato non coincide con nessuno di quelli messi nelle condizioni quindi affermo che l'equazione ammette soluzione ed essa è \( x=-\frac{13}{3} \)



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