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Algebra

Numeri Reali, Radicali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

Geometria cartesiana

Piano cartesiano Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Calcolo delle probabilità

Calcolo probabilità Teorema probabilità totale Teorema probabilità composta

Statistica

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Geometria

Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Equazioni di grado superiore al secondo


Cominciamo con l'affermare che non esiste ad oggi una regola generale per la risoluzione completa delle equazioni di grado superiore al secondo; si studiano quindi solo dei casi particolari in cui è possibile il calcolo delle soluzioni.
Per il numero delle radici di una equazione esiste il seguente teorema:

Nel campo dei numeri complessi, una equazione di grado n ammette n soluzioni; le radici non reali sono sempre in numero pari mentre quelle reali possono essere doppie.

Le radici complesse sono sempre in numero pari perché se un numero complesso è radice di una equazione lo è anche il suo complesso coniugato. Da questo teorema ricaviamo una importante informazione circa le equazioni di grado dispari: una equazione di grado n con n dispari ammette almeno una soluzione reale.
Vediamo adesso che tipo di equazioni siamo attrezzati a trattare:

Equazioni scomponibili

Si procede allo stesso modo di come avevamo visto per le equazioni di primo grado con la differenza che adesso ci accontentiamo anche di avere fattori di secondo grado. Quindi portiamo l'equazione in forma normale ( secondo membro uguale a zero ) e scomponiamo il primo membro in un prodotto di polinomi che siano al massimo di secondo grado; sfruttando la legge dell'annullamento del prodotto, poniamo ogni polinomio uguale a zero e troviamo le soluzione di ognuna di queste equazioni. Tutte le soluzioni ottenute sono soluzioni dell'equazione iniziale.

Esempio

Consideriamo l'equazione \( x^4-3x^2-4=0 \) e calcoliamone le soluzioni. Per scomporre questo trinomio trasformiamolo in un quadrinomio considerando il termine al quadrato come una somma \( -3x^2=-4x^2+x^2 \) ottenendo$$x^4+x^2-4x^2-4=0$$poniamo in evidenza \( x^2 \) tra i primi due termini e -4 tra i secondi due ottenendo$$x^2(x^2+1)-4(x^2+1)=0 \rightarrow (x^2+1)\cdot(x^2-4)=0 \rightarrow (x^2+1)\cdot(x+2)\cdot(x-2)=0$$quindi dobbiamo risolvere le tre equazioni:
\( x^2+1=0 \rightarrow x^2=-1 \rightarrow x=\pm \sqrt{-1}=\pm i \) nessuna soluzione reale;
\( x+2=0 \rightarrow x=-2 \);
\( x-2=0 \rightarrow x=2 \).
Quindi l'equazione ammette due soluzioni reali ( +2 e -2 ) e due soluzioni complesse (+i e -i ).

Equazioni binomie

Si definisce equazione binomia quella del tipo \( ax^n+b=0 \) dove a e b sono due numeri reali non nulli mentre n è un numero naturale.
Visto che a è diversa za zero possiamo scrivere l'equazione come$$ x^n=-\frac{b}{a} $$Distinguiamo adesso i casi rispetto ad n ed al segno di a e b.
1) per n parie i coefficienti a e b discordi, la frazione a secondo membro sarà positiva e l'equazione ammetterà due soluzioni reali opposte e n-2 soluzioni complesse coniugate; le radici reali saranno$$x=\pm \sqrt[n]{-\frac{b}{a}}$$ 2) per n parie i coefficienti a e b concordi, la frazione sarà negativa e l'equazione non avrà radici reali ma n radici complesse coniugate;

3) per n dispari si ha una soluzione reale ed n-1 soluzioni complesse coniugate. La radice reale sarà$$x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}$$

Esempio

Calcolare le soluzioni dell'equazione \( x^5+32=0 \).
L'esponente è dispari e quindi la soluzione reale vale \(x=\sqrt[5]{-32}=-2 \)
Per determinare le soluzioni complesse proviamo a scomporre il binomio a primo membro
\( x^5+32=(x+2)\cdot(x^4-2x^3+4x^2-8x+16) \) il secondo fattore non è scomponibile ulteriormente e quindi dovremmo risolvere l'equazione di quarto grado, cosa che non sappiamo fare; non possiamo allora calcolare le radici complesse.

Esempio

Calcolare le soluzioni dell'equazione \( x^3+27=0 \).
L'esponente è dispari quindi la soluzione reale è \(x=\sqrt[3]{-27}=-3 \); per calcolare quelle complesse scomponiamo il polinomio a primo membro$$x^3+27=(x+3)\cdot(x^2-3x+9)$$il primo fattore, posto uguale a zero, ci restituisce la soluzione reale mentre dal secondo fattore ricaviamo le soluzioni complesse.
\( \Delta=9-36=-27 \) negativo come ci aspettavamo perché le radici sono complesse.$$x=\frac{3\pm \sqrt{-27}}{2}=\frac{3\pm 3\sqrt{-3}}{2}=\frac{3(1\pm \sqrt{-3})}{2}=\frac{3(1\pm \sqrt{3}i)}{2}=\frac{3}{2}\cdot(1\pm\sqrt{3}i)$$

Esempio

Calcoliamo le soluzioni dell'equazione \( x^4-16=0 \).
L'esponente è positivo ed i numeri a e b sono discordi quindi l'equazione ammetterà due soluzioni reali e due complesse; le reali saranno$$x=\pm \sqrt[4]{16}=\pm2$$Per calcolare quelle complesse dobbiamo scomporre il binomio al primo membro
\( x^4-16=(x^2+4)\cdot(x^2-4)=(x^2+4)\cdot(x-2)\cdot(x+2) \) dagli ultimi due fattori ricaviamo le soluzioni reale mentre dal primo quelle complesse infatti per esso risulta$$x^2+4=0 \rightarrow x^2=-4 \rightarrow x=\pm \sqrt{-4}=\pm \sqrt{4}\sqrt{-1}=\pm2i$$ N.B.Questo metodo ci permette di calcolare velocemente le soluzioni reali della soluzione mentre per calcolare anche quelle complesse dobbiamo comunque scomporre i primo membro dell'equazione come visto nel paragrafo precedente.

Equazioni trinomie

Si definisce equazione trinomia quella del tipo \( ax^{2n}+bx^n+c=0 \) dove a , b e c sono due numeri reali non nulli mentre n è un numero naturale.

Nel caso particolare in cui n vale 2 l'equazione prende il nome di equazione biquadratica.
Per risolvere le equazioni trinomie si opera un cambiamento di variabile sostituendo la potenza ennesima di x con la variabile t ( \( x^n=t \) ) ottenendo
\(at^2+bt+c=0 \). Adesso se il discriminante di questa equazione di secondo grado è positivo avremo due soluzioni reali per t ; sostituiamo i valori calcolati per t nell'equazione della sostituzione cioè ( \( x^n=t \) ) ed otteniamo:
per n dispari si ha una sola soluzione reale ( \(x=\sqrt[n]{t} \) ) ed n-1 soluzioni complesse per ogni valore di t; quindi in totale due soluzioni reali ed n-2 complesse;
per n pari si hanno due soluzioni reali ( \(x=\pm \sqrt[n]{t} \) ) ed n-2 soluzioni complesse per ogni valore positivo di t mentre per ogni valore negativo di t si hanno n soluzioni complesse.

Esempio

Calcolare le soluzioni dell'equazione \( x^4+x^2-2=0 \)
Operiamo la sostituzione \( x^2=t \) ed otteniamo $$t^2+t-2=0$$Calcoliamo il discriminante \( \Delta=1+8=9 \) e le soluzioni di questa equazione di secondo grado$$t_1=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \textrm{ e } t_2=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{2}=1$$ Delle due soluzioni in t quella positiva darà vita a due soluzioni reali perché n è pari ( 2 )$$x^2=1 \rightarrow x=\pm1$$quella negativa porta a due soluzioni complesse infatti$$x^2=-2 \rightarrow x=\pm\sqrt{-2}=\pm \sqrt{2} \sqrt{-1}=\pm \sqrt{2}i$$

Esempio

Calcolare le soluzioni dell'equazione \( (x-2)^6-7(x-2)^3-8=0 \)
Operiamo la sostituzione \( (x-2)^3=t \) ottenendo$$t^2-7t-8=0$$calcoliamo il discriminante ( \( \Delta=49+32=81 \) ) e le soluzioni dell'equazione di secondo grado in t $$t_1=\frac{7-\sqrt{81}}{2}=\frac{7-9}{2}=-1 \textrm{ e } t_2=\frac{7+\sqrt{81}}{2}=\frac{7+9}{2}=8$$ Il fatto che n è dispari ( 3 ) ci garantisce che per ogni t l'equazione \( (x-2)^3=t \) ammette una soluzione reale; ricaviamole
\( (x-2)^3=-1 \rightarrow x-2=-1 \rightarrow x=1 \)
\( (x-2)^3=8 \rightarrow x-2=2 \rightarrow x=4 \)
Per calcolare le soluzioni complesse bisogna portare il valore di t al primo membro e scomporre
\( (x-2)^3=-1 \rightarrow (x-2)^3+1=0 \rightarrow (x-2+1)\cdot[(x-2)^2-(x-2)+1]=0 \rightarrow (x-1)\cdot(x^2-5x+7)=0\)
Dal primo fattore otteniamo la soluzione reale, dal secondo le due soluzioni complesse$$x=\frac{5\pm\sqrt{25-28}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{3}i}{2}$$ Procediamo allo stesso modo per t=8
\( (x-2)^3=8 \rightarrow (x-2)^3-8=0 \rightarrow (x-2-2)\cdot[(x-2)^2+8(x-2)+64]=0 \rightarrow (x-4)\cdot(x^2+4x+52)=0 \)
Dal primo fattore ricaviamo la soluzione reale x=4 e dal secondo le soluzioni complesse utilizzando la formula ridottissima$$x=-2\pm\sqrt{4-52}=-2\pm\sqrt{-48}=-2\pm4\sqrt{-3}=2(-1\pm2\sqrt{3}i)$$ In definitiva l'equazione ammette due soluzioni reali e 4 soluzioni complesse.



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